思維能力培養與數學問題設計

趙光義

亞里士多德精辟地指出：“思維從問題、驚訝開始.”為了培養學生的思維能力，古今中外的教育家無不注重啟發性問題的設計．教學實踐表明：課堂上，教師提出問題的角度、層次和要求與培養學生思維能力的程度密切相關．因此，作為數學教學，特別是九年義務教育初中數學教學，必須根據學生的認識水平、教材內容、課型要求等提出不同的問題，從多方面培養學生的思維能力，筆者近幾年在這方面作了一些嘗試和探討，受益匪淺，簡介如下．

一、設計適度型問題，培養學生敏捷思維能力

教學實踐表明：學生的思維是否敏捷，一條重要因素就是看教師在教學過程中設計的問題是否適度，這里所說的適度，就是指設計的問題符合絕大多數學生的認識水平，適合大多數學生的知識、能力水準的“最近發展區”．如果教學每節內容都能設計出適度的問題，就會激發學生的學習興趣，誘發他們的學習動機，思維的積極性也就會自然產生，教師再輔之以恰當的啟發點撥，久而久之，學生的思維也就會越來越敏捷．

教學中，經常聽到有的教師埋怨學生“笨”，思維遲鈍，腦子不開竅．其實，這與教師提問啟而不發或發而不著邊際有關系．當然，我們也不能否認學生之間確實存在著智力差異，但是，教師這時首先應該冷靜思考一下，設計的問題是否偏離了大多數學生的認識實際．

例如：在與學生探究“一元二次方程根與系數的關系”時，如果安排成先讓學生求出方程2x²-x-1=0的兩根為1、1/2后，就問：“大家能不能找到根與系數的關系？”如此一問，學生很難想到計算兩根的和與積，激發不了學生的思維，但若作如下安排：①先用小黑板出示兩組方程（分二次項系數為1和不為1的兩組），要求學生計算出方程的根（列出）;②然后教師問：觀察第一組方程（二次項系數為1），它們的根與一次項系數、常數之間有什么共同的規律？出示方程x²+bx+c=0，讓學生用式子表示兩根之和、之積；③再觀察第二組，提問：能否得出相似的結論？最后師生共同歸納出一般結論．

這樣設計的問題照顧到了學生的接受能力，學生回答踴躍，思維敏捷．

二、設計比較型問題，培養學生求同思維能力

人們認識事物是從區分事物開始的，而要區分事物，首先就得進行比較，有比較，才有鑒別，沒有比較，人類的任何認識活動都是不可思議的．求同思維就是從已知的各類材料中，進行比較、歸納總結，得出規律性的知識，尋求問題的同一答案．從求同思維能力的形成過程及其規律來看，比較型的問題，與培養學生求同思維能力密切相關，這是因為，求同過程是從彼此相關聯的大量具體材料中抽出規律性結論的過程，從各種材料中尋求共同點的過程．因此，設計一些比較型的問題，能夠培養學生思維的求同能力．例如：學完“相似三角形”后，讓學生從定義、判定、性質等方面比較“相似三角形”與“全等三角形”、“相似多邊形與全等多邊形”、“相似多邊形”與“相似三角形”，找出異同點，指出聯系及區別；講根式運算時，讓學生比較其與整式運算的法則、步驟的異同之處；學完幾種特殊四邊形的內容后，引導學生分析它們的異同點；還有解題教學中進行提設、解法、結論的比較等等．這樣的問題設計，不但溝通了知識間的縱橫聯系，有利于知識的記憶、理解、掌握、應用、深化，而且使學生思維活動的抽象程度和對事物本質規律的理解水平逐步提高，求同思維能力得到培養，對優化思維大有裨益．

三、設計開放型問題，培養學生求異思維能力

徐利治教授指出：“詳細說來，任何一位科學家的創造能力，可用如下公式來估計：創造能力=知識量×求同思維能力．”由此可見，在培養學生求同思維能力的同時，不要忽視培養他們的求異思維能力．求異思維，就是不墨守成規，尋求變異、伸展擴散的一種思維活動．在數學教學中，應鼓勵學生敢于設想，大膽創造，標新立異，獨樹一幟，隨時注意多方位思考，變換角度思維，使他們思路開闊，處于一種主動探索的心理狀態，通過活躍的思維達到求異、求佳、求新．具體做法是：除有計劃有目的地設計一些一題多解、一題多變、一題多用等問題培養學生全方位多層次探索問題的能力之外，還應設計一些開放型問題，通過尋求問題的結論或條件或某種規律，來發展求異思維，培養學生的創造精神．

例如：教學“切線長定理”時，我設計了如下問題：如右圖，已知PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AB與OP相交于點C，根據已知條件，寫出四個結論（多者不限）．像這樣設計給出條件，探索各種結論的問題，發散了學生思維，有利于求異思維能力的培養．

四、設計互逆型問題，培養學生逆向思維能力

學生思維的發展總是相互聯系，相互促進的，判斷一個學生思維能力強不強，依據之一就是考查學生逆向思維能力靈活不靈活．因此，要大面積提高數學教學質量，就必須研究如何提高學生整體逆向思維能力，我們在教學每一節內容時，除了向學生進行一定程度的正向思維訓練外，還應不失時機的設計逆向性的問題，培養學生的逆向思維能力，教會學生從一個問題的相反思路上去思考，或者從一般思路的相反方向去思考探求解決問題的方法和途徑，使學生的正向思維、逆向思維發展相互促進．例如：課本例題“求證：順次連接四邊形各點的中點，所得的四邊形是平行四邊形．”證完此題后，教師作了如下三個變式：①連接任意四邊形各邊中點的線段具有怎樣的性質？②將①中的四邊形分別改為矩形、菱形、正方形、等腰梯形，結論又有怎樣的變化？③當一般四邊形的兩條對角線分別滿足什么條件，順次連接各邊中點所得的四邊形是矩形？菱形？

正方形？會是梯形嗎？其中變式③就是迫使學生作逆向探求，思維要求更高，逆向思維能力得到培養．

五、設計迷惑型問題，培養學生批判思維能力

心理學研究表明：中學生思考問題，條條框框少，思想束縛性小．他們敢于懷疑成人的意見，敢于對書本上的知識提出質疑，并能批駁別人的見解，尖銳地提出自己的意見，但是他們的“批判”往往是片面的、幼稚的，甚至是錯誤的．為了使他們的“批判”思維趨于成熟、全面、正確，教師應機警地適時地設計一些迷惑型問題，迷惑學生．教學中，認認真真的出錯，誘使學生“上當受騙”，展開爭論．

教學中，筆者常設計如下兩方面的問題：

1.使爭論的一方“上當受騙”．例如：相交兩圓的公共弦長24，兩圓半徑分別為15和20，求圓心距.先讓學生解答，（幾分鐘后）老師說：現在同學們計算得兩個結果，一是25，二是25或7，我同意前一種說法，你們呢？激起了同學們的爭論．爭論中，使上當的一方吃一塹長一智，變得聰明起來，使勝利的一方享受到成功的喜悅．