趣談勾股定理

錢懷蓮

我國古人很早就發現了“勾三股四弦五”.當時把較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是，在直角三角形中，如果勾為3，股為 4，那么弦為5.所以我國稱反映勾、股、弦長度之間的數量關系的一個命題為勾股定理.西方國家稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.

例1如圖1，四邊形A、B、C、D、E、F、H都是正方形，圖中所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形H的邊長為7 cm，則正方形A、B、C、D的面積之和為cm2.

分析：這個圖形是勾股樹的一部分.根據勾股定理，易得SA + SB = SE，SC + SD = SF，SE + SF = SH .

∴SA + SB + SC + SD = SH = 7 × 7 = 49（cm2）.

解：正方形A、B、C、D的面積之和為49 cm2.

總結：這里的H相當于樹干，A、B、C、D、E、F等相當于樹枝.還可以向外面繼續延伸畫勾股樹.由以上分析可以知道，對勾股樹來說，樹枝部分最外面的正方形的面積的和 = 最大的正方形的面積.大家可以思考一個與本題有關的問題，即所有正方形的面積之和是多少.

例2觀察下列表格：

請你結合下頁表1及相關知識，求出m、n的值.

解：設（a，b，c）為一組勾股數，a < b < c，則a2 + b2 = c2（a、b、c均為正整數）.

觀察可知表格中的規律是：當a為奇數時，則b、c是兩個連續的正整數，且b + c = a2.

如（5，12，13），則12 + 13 = 52；（7，24，25），則24 + 25 = 72.

所以有132 = 169 = m + n，又m比n小1，所以m + m + 1 = 169，m = 84，n = 85.

總結：（1）勾股數中各數的相同的整數倍，仍是勾股數，如3，4，5是勾股數，則6，8，10也是勾股數．

（2）常見的勾股數有：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；⑤9，40，41．它們的整數倍也都是勾股數.這些勾股數應當牢記，以便解題時及早發現其中的規律.

（3）設（a，b，c）為一組勾股數，a < b < c，a2 + b2 = c2（a 、b 、c均為正整數）.

①當a為奇數時，則b 、c是兩個連續的正整數，且b + c = a2；

②當a為大于4的偶數時，則b、c是兩個連續的奇數或偶數，且b + c =a2.

例3學習了勾股定理以后，有同學提出：“在直角三角形中，三邊長a、b、c滿足a2 + b2 = c2，或許其他的三角形三邊也有這樣的關系.”讓我們來做做實驗!

（1）畫出任意一個銳角三角形，量出各邊的長度（精確到1 mm）.較短的兩條邊長分別是a = mm，b = mm；較長的一條邊長c = mm. 比較a2 + b2（填“>”，“ < ”或“ = ”）c2.

（2）畫出任意一個鈍角三角形，量出各邊的長度（精確到1 mm）.較短的兩條邊長分別是a = mm，b = mm；較長的一條邊長c = mm. 比較a2 + b2（填“>”，“ < ”或“ = ”）c2.

（3）根據以上的操作和結果，結合這位同學提出的看法，你猜想的結論是：.利用勾股定理證明你的結論．

解：（1）、（2）略.

（3）猜想的結論是：△ABC的三邊長分別為a、b、c.若△ABC是銳角三角形，則有a2 + b2 > c2；若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a2 + b2 < c2.證明如下：

①當△ABC是銳角三角形時，如圖2，過點A作AD⊥BC，垂足為D.設CD = x，則有BD = a - x.根據勾股定理，得b2 - x2 = AD2 = c2 - （a - x）2.

即b2 - x2 = c2 - a2 + 2ax - x2.故a2 + b2 = c2 + 2ax.

∵a > 0，x > 0，

∴2ax > 0. a2 + b2 > c2.

②當△ABC是鈍角三角形時，如圖3，過B作BD⊥AC，交AC的延長線于D.

設CD = x，則有BD2 = a2 - x2.

根據勾股定理，得AD2 + BD2 = AB2，（b + x）2 + a2 - x2 = c2．即a2 + b2 + 2bx = c2.

∵b > 0，x > 0，

∴2bx > 0. a2 + b2 < c2.

總結：（3）中得到的結論，可以用來判斷一個三角形的形狀.若a < b < c，當a2 + b2 > c2時，△ABC為銳角三角形；當a2 + b2 < c2時，△ABC為鈍角三角形；當a2 + b2 = c2時，△ABC為直角三角形.Y

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