勾股定理學習指要

南秀全

1. 勾股定理可用于求直角三角形的某一邊長.

2. 應學會構造（或尋找）直角三角形，運用勾股定理解決實際問題.如抓住立體圖形與平面圖形的關系，將立體圖形展開成平面圖形，進而構造直角三角形，運用勾股定理解決問題.

3． 構造三角形（或尋找三角形），運用勾股定理的逆定理判斷某角是否為直角.

例1如圖1，某機器零件呈四邊形ABCD的形狀，要求∠B = ∠D = 90°，AB = BC = 5，CD = 1.現測得∠B = 90°，AB = BC = 5，CD = 1，DA = 7.那么，這個零件合格嗎？

分析： 連接AC，由勾股定理可求得AC2，再看CD2 + DA2是否與AC2相等.若相等，則∠D = 90°，零件合格；若不相等，則∠D ≠ 90°，零件不合格.

解：略.

說明：當題目中已知條件比較分散時，應通過構造或尋找全等三角形、等腰三角形、直角三角形等，將分散的條件集中，以利于解決問題.

例2如圖2 ，鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點）相距25 km，C、D為兩村莊（視為兩個點），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B.已知DA = 15 km，CB = 10 km.現要在鐵路上A、B之間建一個土特產品收購站E，使C、D兩村到E的距離相等.那么，E應建在何處？請給出你的設計方案和理由.

分析： E應建在何處，可由E到A的距離及E在A、B之間來確定.由于要求DE = CE，故可通過設未知數，由等量關系建立方程來解決.

解：設E建成后，AE = x km，則BE = （25 - x） km.

由勾股定理可得DE2 = AD2 + AE2 = 152 + x2，CE2 = BC2 + BE2 = 102 +（25 - x）2.

∴152 + x2 = 102 + （25 - x）2.解得x =10.

從而，E應建在A、B之間距A站10 km處.

說明：如果使E到C、D兩村的距離之和最小，該如何確定這個最小值呢？請思考一下這個相關的問題.

例3如圖3 ，一圓柱形油罐，要從A點環繞油罐建梯子，正好建到A點正上方的B點處.請你算一算梯子最短需多長.（已知油罐的底面周長是12 m，高AB是5 m）

分析：如圖4 ，將油罐表面沿AB展開，展開后成長方形AA′B′B.在長方形AA′B′B中，AA′的長即是油罐的底面周長，A′B′的長即是油罐的高，故AA′=12 m，A′B′= 5 m.由于高與底面垂直，故∠A′= 90°，由勾股定理可求出AB′的長，即得所建梯子的最短長度.

解：略.

說明：解這類求最短長度或最短距離題的關鍵，是把立體圖形的側面展開（經常會遇到是正方體或長方體的情況）.同學們可考慮一個類似的問題，即當B點在上底面的直徑另一端點處時（如圖5），梯子最短需多長.

例4將兩塊三角板ABC和DBE按圖6所示放置，其中∠C =∠EDB = 90°， ∠A = 45°，∠E = 30°，AB = DE = 6．求重疊部分四邊形DBCF的面積．

解：在Rt△DBE中，∠EDB = 90°，∠E = 30°，DE = 6.

設DB = x，則BE = 2x，由勾股定理，得（2x）2 =x2 + 62，解得x = 2 .故AD = AB - DB = 6 - 2 ．

又∠A = 45°，故∠AFD = 45°，得FD = AD．

∴S△ADF =AD2 = × （6 - 2 ）2=24 - 12 ．

在等腰Rt△ABC中，AB = 6，故S △ABC =· AB·AB = 9．

∴S四邊形DBCF = S△ABC - S△ADF = 9 - （24 - 12 ） = 12- 15.

說明：在直角三角形中，如果知道一個角是特殊角（如45°，60°，30°），且知道一邊的長，則由勾股定理一定可以求得另兩邊的長，也能求出斜邊上的高h利用 ab =hc，a、b為直角邊長，c為斜邊長.

例5已知△ABC的三邊長分別為a、b、c，且a2 + b2 + c2 + 338 = 10a + 24b + 26c，則△ABC是直角三角形嗎？如果是，指出它的哪一個角是直角；如果不是，說明理由.

分析： 由于二次項都只含有一個字母，故考慮配方變形，有（a2 - 10a + 25） + （b2 - 24b + 144） + （c2 - 26c + 169） = 0.然后利用非負數的性質得出a、b、c的值，再由勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀.

解：略.

說明：若一個等式中含有多個字母，且最高次數為二次，一般考慮配方，化成一邊是整式，一邊是0，轉化成幾個非負數的和等于0的形式，再由非負數的性質求出各字母的值.在直角三角形中，最大邊（即斜邊）所對的角是直角.

例6為了美化環境，某小區用30 m2的草皮鋪設一塊一邊長為10 m的等腰三角形綠地.請你求出這塊等腰三角形綠地另兩邊的長．

解：分三種情況計算．不妨設三角形綠地為△ABC，AB = 10 m.過點C作CD⊥AB，垂足為D．則S△ABC =AB·CD = 30（m2），解得CD = 6 m．

（1）當AB為底邊時，AD = BD = 5 m，如圖7.

AC = BC = =（m）．

（2）當AB為腰且三角形為銳角三角形時（如圖8），AC = AB = 10 m．

AD = = 8（m），BD = 10 - 8 = 2（m）．

BC = = 2 （m）.

（3）當AB為腰且三角形為鈍角三角形時（如圖9）．

BC = AB = 10 m，BD = = 8（m）．

AC = = 6 （m）.

說明：解答本題要注意分類討論思想的應用，避免出現漏解.對于沒有具體給出圖形的題目，一定要考慮各種可能的情況（是銳角三角形還是鈍角三角形？高在形外還是形內？等等）.有時，并不僅有兩種情況.L

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文