巧用勾股定理解題

黃海東

勾股定理及其逆定理是幾何和代數聯系的紐帶之一.在以后學習到的幾何計算及幾何證明中，常要利用勾股定理列出方程或方程組來解決問題.本文著重對有關的解題技巧作一些闡述，供讀者參考.

有些題目固然能直接應用勾股定理求出某些線段長或列出等式，但離求解的目標還有一定的距離，這時，往往需要與其他數學知識聯用.

例1直角三角形一條直角邊的長為11，另外兩條邊的長均為自然數，則該直角三角形的周長為（）.

A. 121 B. 122C. 132D. 144

分析：本題條件不多，解這類題可利用整數的性質及分解因式，列出方程組進行求解.

解：設斜邊長為c，另一直角邊長為b，則c2 - b2 = 112 = 121.

故（c - b）（c + b） = 121.因b、c均為自然數，c - b < c + b，故

c - b = 1，c + b = 121.

所以周長為11 + b + c = 11 + 121 = 132，故應選C.

評析：本題也可求出b、c，再求周長.讀者不妨思考一下已知的直角邊長為合數（比如12）的情形，得到的結果會有許多種，也比較有趣.

在翻折問題中，通常是利用圖形翻折的性質（如翻折后有關線段的長度不變，一些角相等等），由勾股定理列出方程，求出有關的量.

例2如圖1，將矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交 AD于點E.已知AD = 8，AB = 4.求△BDE的面積.

分析：利用翻折圖形的對應角相等，對應邊相等，得到△BDE為等腰三角形，CD = C′D，從而AE = C′E.要求S△BDE，只要求出BE即可.因此設BE = x，則C′E = 8 - x，由勾股定理可列出方程，從而使問題得到解決.

解：由題意，得C′D = CD = AB = 4，C′B = CB = AD = 8，∠C′BD = ∠CBD = ∠ADB.

∴△BDE為等腰三角形，BE = DE.

設BE = x，則C′E = 8 - x，DE = x.

在Rt△DEC′中，由勾股定理，得（8 - x）2 + 42 = x2.

解得x = 5.所以S△BDE =BE · C′D = 10.

評析：翻折問題中，總是有不少相等的邊和角，也有全等的三角形.解題時一定要先找出這些關系.

例3如圖2，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 9 .將矩形沿EF翻折，使點B落在點D處，A點落在A′處.求BF的長.

分析： 由圖形翻折的性質，得到AE = A′E.設AE = x，則DE = 9 - x.在Rt△A′DE中，可用勾股定理列出方程，然后加以解決.

解：由題意，得AE = A′E，A′D = AB = 3，∠DFE = ∠BFE = ∠DEF.

∴△DEF為等腰三角形，DE = DF = BF.

設AE = x，則DE = 9 - x.在Rt△A′DE中，x2 + 32 = （9 - x）2.解得x = 4.

∴BF = DE = 9 - 4 = 5.

評析：矩形的折疊問題中，通過兩邊平行可得到等腰三角形，如例2中的△BDE和本例中的△DEF.同學們一定要注意這個特點.

有些題目中雖然沒有可利用的直角三角形，但探求的結論與勾股定理的形式相似，可通過條件的轉化，構造直角三角形解決問題.

例4如圖3，在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點.DE、DF分別交AC、BC于E、F，DE⊥DF.求證：AE 2 + BF 2 = EF 2.

分析： 雖然 AE、BF、EF不在同一個三角形中，但從結論可以看出，只要把這三條線段集中到某個直角三角形中，問題即可得到解決.

證明：如下頁圖4，延長ED至P，使DP = ED，連接BP，則△ADE ≌ △BDP（SAS）.AE = BP，∠A = ∠DBP.

∵∠A + ∠ABC = 90°，

∴∠FBP = ∠DBP + ∠ABC = 90°.

連接FP.在Rt△FBP中，BP 2 + BF 2 = FP 2.故AE 2 + BF 2 = FP 2.

∵FD為EP的中垂線，

∴FP = FE.AE 2 + BF 2 = EF 2.

評析：當問題中有中線或過中點的線段時，通常會將其延長一倍，以構造全等三角形.

1. 如圖5 ，四邊形ABCD中，已知∠A = 60°，∠B =∠D = 90°.AB = 2，CD = 1. 分別求BC和AD的長.

２. 如圖6，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB = ∠DCE = 90°，D是AB邊上一點.求證：（1）△ACE ≌△BCD.（2）AD2 + AE2 = DE2.L

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