勾股定理的兩個(gè)變形及其應(yīng)用

作者簡(jiǎn)介 侯明輝,男,滿(mǎn)族,1962年10月19日出生,遼寧省岫巖縣人,中學(xué)高級(jí)教師,國(guó)家級(jí)骨干教師,享受?chē)?guó)務(wù)院特殊津貼專(zhuān)家,中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員,鞍山市中小學(xué)聽(tīng)評(píng)課專(zhuān)家組專(zhuān)家,遼寧省首批中小學(xué)教師拔尖人才,政協(xié)岫巖滿(mǎn)族自治縣第六屆?第七屆委員會(huì)常務(wù)委員.

1985年9月28日,侯明輝發(fā)現(xiàn)了具有重要應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)三弦定理.這個(gè)定理是:過(guò)圓上一點(diǎn)引該圓任意三條弦,則中間弦與最大角正弦的積等于其余兩弦和它們不相鄰角正弦積的和.這一定理的發(fā)現(xiàn),得到了國(guó)內(nèi)一些知名專(zhuān)家的肯定和贊譽(yù),認(rèn)為該定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)新亮點(diǎn).

在Rt△ABC中,∠C = 90°,BC = a,AC = b,AB = c,則a2 + b2 = c2.這是同學(xué)們所熟知的勾股定理.本文給出勾股定理的兩個(gè)變形,并舉例說(shuō)明其應(yīng)用,供同學(xué)們參考.

一?勾股定理的兩個(gè)變形

由勾股定理a2 + b2 = c2,可得到下面兩個(gè)變形.

變形1:(a + b)2 - 2ab = c2. 變形2:(a - b)2 + 2ab = c2.

通過(guò)這兩個(gè)變形,我們可以從a?b?c?a + b?a - b?ab中任意兩個(gè)出發(fā),求出其他各個(gè)量.

二?應(yīng)用舉例

應(yīng)用上述兩個(gè)變形求解某些直角三角形問(wèn)題,十分簡(jiǎn)便.

例1 在Rt△ABC中,∠C = 90°,AC + BC = 7,S△ABC = 6,求AB的長(zhǎng).

解:因?yàn)椤螩 = 90°,所以S△ABC =AC·BC = 6,得AC·BC = 12.由變形1及AC + BC = 7,得AB2 = 72 - 2 × 12 = 25,則AB = 5.

例2 一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是2 +,斜邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)是1,求這個(gè)直角三角形的面積.

解:設(shè)這個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a?b,斜邊為c.由a + b +c = 2 +,而斜邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)是1,所以c = 2,從而得a + b =.由變形1,得 2 - 2ab = 22,故得ab = 1.所以這個(gè)直角三角形的面積為 ab =.

例3 已知一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)為2,這條邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為1,另兩條邊長(zhǎng)的和為1 +,求這兩條邊長(zhǎng)的積.

解:在△ABC中,設(shè)BC + AC = 1 +,AB = 2.因?yàn)锳B邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為1,所以∠C = 90°.由變形1知,1 +2 - 2BC·AC = 22,得BC·AC =,即為所求.

例4 在Rt△ABC中,∠C = 90°,BC = a,AC = b,AB = c,a > b.如果S△ABC =30,c = 13,求a + b與a - b的值.

解:因?yàn)椤螩 = 90°,所以S△ABC =ab = 30,得ab = 60.由變形1,得(a + b)2 - 2 × 60 = 132,得a + b = 17.由變形2,得(a - b)2 + 2 × 60 = 132,得(a - b)2 = 49,因a > b,故a - b = 7.

例5 在△ABC中,∠C = 90°,BC = a,AC = b,AB = c.如果 c =,a - b = ,求△ABC的周長(zhǎng).

解:因∠C = 90°,故由變形2,得(a - b)2 + 2ab = c2,即 2 + 2ab= 2,所以ab = 3.由變形1,得(a + b)2 - 2ab =2,則(a + b)2 = + 6 =,所以a + b =.所以,△ABC的周長(zhǎng) = + = 6.L

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