勾股定理與費馬大定理

郭紅軍

提起哥德巴赫猜想,很多人都聽說過,因為我國數學家曾對這個猜想作出過杰出的貢獻, 特別是數學家陳景潤的結果到現在還是最好的.在數學界,哥德巴赫猜想被稱為“皇冠上的明珠”.由于證明這個猜想的難度很高,以至于有人斷言,證明哥德巴赫猜想所需要的工具現在還沒有發明出來!

如果有人問起上世紀數學界最重要的結果是什么,相信很多人都會說是費馬大定理.這個懸置長達350多年?比哥德巴赫猜想更著名的難題,在1995年被英國數學家懷爾斯徹底解決.同年,懷爾斯因此榮膺數學界著名的沃爾夫獎.

學過平面幾何的人都知道,設a?b為直角三角形的兩條直角邊邊長,則斜邊長c跟a?b滿足關系式c2 = a2 + b2. 中國人稱它為“商高定理”,因為在古代的數學書籍《周髀算經》里記載,古代數學家商高談到過這個關系式.但人們更普遍地稱其為勾股定理,這是因為在《周髀算經》中記載著“勾三股四弦五”.在西方,上述關系式稱為畢達哥拉斯定理,這是因為西方的數學及科學來源于古希臘,古希臘流傳下來的最古老的著作之一便是歐幾里得的《幾何原本》,而其中許多定理再往前追溯,自然就落在畢達哥拉斯的頭上了.畢達哥拉斯被西方推崇為“數論的始祖”.

如果把勾股定理c2 = a2 + b2中的 a ,b ,c視為未知數,則它就變成了一個不定方程(即未知數的個數多于方程個數的方程).方程c2 = a2 + b2也是最早得出比較完整解答的不定方程,因為每一組勾股數即是這個方程的一組正整數解,而勾股數的規律和構造方法古人早已發現.

法國人費馬(Pierre de Fermat, 1601-1665)雖然學的是法律,從事的也是律師的職業,但他對數學卻有濃厚的興趣.他在業余時間常閱讀各類數學書,并且自己也從事一些數學研究,鉆研一些數學問題.他在閱讀古希臘數學家丟番圖的《算術》一書中關于方程x2 + y2 = z2的一般解的論述時,在書的空白處,用筆寫下這樣的心得:“反過來說,不可能把一個立方數分拆為兩個立方數的和,一個四方數分拆為兩個四方數之和.更一般地, 任何大于二的方數不能分拆為兩個同樣方數之和.我已發現了一個絕妙的證明,但因為空白太小,寫不下整個證明.”用數學語言來表達,費馬的結論是:

當n≥3時, 方程xn + yn = zn 沒有正整數解.

這個方程的形式與勾股定理很相似,仿佛是勾股定理的一種延伸,只是字母的次數由2變為了n(當然,還選擇用不同的字母來表示,但這不是實質性的區別). 費馬的結論中,當 n = 2時,就是勾股定理的情形,這時方程有無數組正整數解,每組勾股數都是它的解.

雖然只是指數由2變為了n(n≥3),但問題的難度卻陡然升高了許多許多.人們費盡了心血,包括最杰出的數學家和數不清的業余數學愛好者,但很長時間一直找不到費馬大定理的證明方法.后來,人們已經不相信費馬真地找到了這個結論的證明,推測他可能如成千上萬的后來人一樣,自以為證明出來而實際上搞錯了.然而,費馬確實創造了一種獨特的方法,證明了n = 4 的情況.n = 3 的情況則是大名鼎鼎的數學家歐拉在1753年給出的.19世紀初,實際上只有n = 3,n = 4兩種情況得到了證明.而n = 5的情況則是在經歷了半個多世紀,一直到 1823年才首次完全證明.費馬大定理對當時的數學家是一個最大的挑戰.為了表示學術界對它的重視,1816年法國科學院首次為費馬大定理設立了大獎.許多大數學家,其中包括當時頂尖的數學家,如高斯和柯西,都曾熱衷于這個問題.然而,他們并沒有實質性的突破.

在早期嘗試解決費馬大定理的英雄豪杰里,還有一位巾幗英雄,她是德國的蘇菲·日爾曼.小時候她是一個很害羞?膽怯的女孩,靠自學?閱讀來研究數學.由于當時女性在數學界受到歧視,她就用一個男性化名同一些大數學家通信,其中包括高斯和勒讓德.她的才能讓這些一流的數學家大為驚訝.

隨著數學各分支的不斷發展,各種數學工具涌現出來,數學家們手中的武器越來越多.進入20世紀,在許多代數學家前仆后繼的努力之下,1983年,德國數學家法爾廷斯證明了一個定理.他的證明用到了多位數學家的成果.這個定理表明,如果xn + yn = zn有一些互質的正整數解,那么解的個數最多也只有有限多個.另一位數學家希斯·布朗則證明了,對于幾乎所有的質數,費馬大定理都成立.

1985年,德國數學家符萊又把費馬大定理的研究向前推進了一步.

英國數學家懷爾斯正是沿著前面許多數學家開辟的道路,在經過漫長的7年探索后,終于在1993年6月取得了突破,并最終在1995年完全證明了費馬大定理,為這個世界難題徹底畫上了句號.

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