淺談初中數學教學

おけ本┦形鞒喬德勝門外教場口街9號院2號樓2003室 100011

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代 序

ソ逃是極其嚴肅的偉大事業，通過培養不斷地將新的一代帶入人類優秀文化精神之中，讓他們在完整的精神中生活、工作和交往.

ァ—雅斯?貝爾斯

オナ鼙本┦Υ蠼逃學院之邀,我有幸參加北京市教委初中建設工程的數學督導工作,看到青年數學教師的迅速成長頗感欣喜!如何搞好初中數學教學，我想談談自己的一些看法，僅供參考.

1 明確初中數學教學目標

初中數學是義務教育的一門主要學科.其教學目標是使學生學習必要的代數、幾何的基礎知識和基本技能，培養運算能力、邏輯思維能力和空間觀念，能夠運用所學的數學知識解決簡單的實際問題，逐步形成數學創新意識，培養學生良好的個性品質和辯證唯物主義的觀點.

1.1 基礎知識

主要包含數學概念、法則、性質、公式、公理、定理及由其內容反映出來的數學思想和方法.概念是知識的細胞，也是思維的素材(判斷、推理、論證或計算的根據)，理解和掌握概念是學好數學的根基.學習概念要準確、清晰，不要以為數學概念不直接考查而不認真學習、不求甚解或一知半解，甚至于似是而非、模棱兩可，這是數學學習的致命錯誤！不會解或將題解錯的重要原因是概念模糊甚至錯誤.數學概念的學習重在理解，對概念的實質和術語的含義必須了解透徹，特別是關鍵字眼要反復斟酌推敲，要真正搞懂它的內涵與外延，才能成為自己認知結構的組成部分.教師也要善于列舉相近、易混、或反面的概念，在區分、對比、剖析中主導學生深化對概念的理解,掌握和應用它們去解決有關問題.

例1 等式性質：“等式兩邊乘同一個實數仍然相等”

能否改為：“等式兩邊同乘一個實數仍然相等”

(否；因為將“乘同”顛倒為“同乘”其含義是不一樣的.)

例3 實數的絕對值的概念

幾何定義：一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點到原點的距離.

代數定義：|a|=a (a≥0)-a (a<0)

ア倌芊竇蛐次獆a|=±a；(否)

②能否這樣定義：

“正數的絕對值是正數；零的絕對值是零；負數的絕對值也是正數.”(否)

③代數定義告知我們如何去掉絕對值符號（抓零點討論）.

畫函數y=|x|;y=|x-1|;y=|2x+1|;y=|x+2|-|x-2|的圖象；

④用幾何意義判斷不等式的解是否存在：|x+1|+﹟x-2|<3；(不存在)

⑤與算術平方根的聯系：a2=|a|,化簡：x2+x+14；a2+1a2-2(a>0);

⑥逆向思維：

ト魘a|=a,則a≥0;

ト魘a|=-a,則a≤0;

ト魘a|>a,則a<0;ト魘a|>-a,則a>0;

デ蠼鈢x|+x=0;|x+1|=x+1;|x+1|>x+1.

1.2 基本技能

能夠按一定程序與步驟進行運算、作圖或畫圖，進行簡單的符合邏輯的推理.

例4 解一元一次方程和一元一次不等式的步驟：

一元一次方程 一元一次不等式

去分母（分子要加括號）………………同左

去括號（括號前的符號）………………同左

移項（變號）……………………………同左

合并同類項（化為最簡式）……………同左

ax=b ax>b(ax

系數化為1,x=ab………a>0,x>ba(x

a<0,xba).

ネü類比，曉知解一元一次方程和一元一次不等式的步驟是相同的，但特別需要強調的是“最后一步”：不等式要分a>0或a<0這兩種不同情況.

例5 二次函數式y=ax2+bx+c的配方,化為標準式y=ax+b2a2+4ac-b24a是二次函數問題的關鍵步驟,它直接影響著后面結論的正確與否,決不能出錯.顯然,將生動的變形過程作為公式要求學生死記硬背是不可取的.而且,二次式的配方也是今后高中數學經常用到的方法,要非常熟練與過硬.

例6 題目中有三角形,內切圓或外接圓的畫圖順序應先畫圓后畫三角形;又如畫菱形的內切圓應先畫對稱軸,再畫圓,最后畫菱形.從而達到”快、準、好”.

1.3 運算能力

運算能力是指對數或式的各種變形、化簡與求值，能進行合理、簡捷、正確的計算、驗算、近似計算或估算.運算能力是中學數學培養的三大能力之一,不能錯誤地認為有了計算器,運算能力的培養就可以消弱,而是在初中就應當過關.實際上,到了高中仍有不少學生的運算能力并不過關.分析頭頭是道,動筆一算就錯!主要表現為:①不能落實”先化簡,后求值”的計算原則(分子分母約分,等式兩邊的系數約簡,合并同類項等);②不依據運算律或運算法則進行運算;③只看個別或局部,不能統觀全局(分子分母間的關系,前后項的聯系,分組計算,整體代值等),尋找簡捷的運算規律或技能;④運算小知識積累或掌握不夠(速算,和差積的轉換等).同學的運算錯誤有時是粗心大意,但更多是法則不對、概念不清所造成的.

ト(a+b)2=a2+b2;a2=a;a2-b2=a-b;a2-b2a-b=a-b;若a>b,c>d,則a-c>b-d或ac>bd;等等.

ス,不論是選擇題、填空題、解答題,教師決不能只講講思路,一定要花點時間展現合理簡捷的運算過程,并要求和訓練學生做到”運算一次準確”,如此下去,日積月累、潛移默化必能培養出過硬的運算能力.

例7已知x=1+52,y=1-52,求①xy+yx;②x2+y2+3xy;③x3+y3的值.

(因為x+y=1，xy=-1將多項式用x+y及xy表示，再求值)

例8①已知a2+2a-1=0,求a3+6a2+8a-3的值.

解1 由a2+2a-1=0,求出a=-1±2,代入多項式求之,繁!

解2 降冪運算,因為a2=1-2a,所以原式=a(1-2a)+6(1-2a)+8a-3=-2a2-3a+3=-2(1-2a)-3a+3=a+1=±2.

解3 整體代值,原式=a(a2+2a-1)+4(a2+2a-1)+a+1=a+1=±2.

②已知x=2-5,求x4-8x3+16x2-x+1的值.

解1 直接代入求之,繁!

解2 轉換為有理式,整體代值,因為x-2=-5,所以x2-4x-1=0,

ニ以原式=x2(x2-4x-1)-4x(x2-4x-1)+(x2-4x-1)-x+2

=2-x=5.

ヒ隕細鶻夥哪個簡捷是不言而喻的.

例9 化簡3-7(5-2)5+2-7.

含有根式的分式化簡，一般先考慮分母有理化，其著眼點在分母.此分母含三個無理數，需兩次共軛才能完成.統觀全局，既看分母又看分子，研究它們之間的關系，我們發現：分母中-7乘以5-2就是分子中的第二項，而(5+2)乘(5-2)正是分子中的第一項.

原式=［3-7(5-2］?(5-2)［(5+2)-7］?(5-2)

=［3-7(5-2)］?(5-2)3-7(5-2)

=5-2.

セ蛟式=(5+2)?(5-2)-7(5-2)5+2-7

=5-2.

ソ窈螅在復數中也會遇到類似情形，如求（3+2i)(1-2i)(2+i)(2-3i)+(3-2i)(1+2i)(2-i)(2+3i)的值.

1.4 邏輯推理能力

邏輯推理能力包括觀察、比較、分析、綜合、歸納、演繹、類比、抽象、概括等能力.具體表現為：

明確解決問題的目標與方向（直覺思維能力、發現屬性能力、發現相似性能力、發現關系的能力、識別模式的能力、形成數學通性通法及數學概念的概括能力等）；會用演繹、歸納和類比進行合乎邏輯的推理與演算（推理能力、轉換能力、變式能力、遷移能力及運用思維塊能力等）；能準確清晰有條理地進行表述、論證完整（如概念、術語、公式、定理、法則和符號的應用正確、恰當與規范）.

1.5 空間觀念

能根據給出的條件畫出正確的圖形；能正確地分析圖中基本元素的位置關系與數量關系；能根據需要對圖形進行平移、分解、組合或變形；能“就數論形”和“以形釋數”.

幾何學科重在培養邏輯推理能力和空間觀念.先因后果、言之有據是邏輯推理的體現，為了培養這種能力，需要循序漸進，特別是論證分析要到位，使學生懂得如何分析，如何找到突破口.知識未必能變成能力，可是能力必須有扎實的基礎知識.要具備一定的邏輯推理能力和空間觀念，首先要有分析工具，這就是有關圖形的性質定理及判定定理，要理解、掌握和會用.比如：

①三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、正三角形（它們的元素：角、邊、中位線、中線、中垂線、高、角平分線、面積等）的性質與判定定理.

②四邊形、梯形、等腰梯形、直角梯形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質與判定定理.

③三角形（多邊形）全等或相似的性質與判定定理;三角形的等積變換.

④圓、直線與圓、圓與圓、角與圓（圓周角、圓心角、弦切角、圓內角、圓外角、扇形）、三角形與圓、四邊形與圓、正多邊形與圓的性質和判定定理.

⑤正確畫圖與計算（如圓柱、圓錐側面積、全面積）.

例10 直角三角形的兩條直角邊的比為4∶9，則它們在斜邊上的射影的比為.

(此題易答錯2∶3;正確答案是16∶81);

ニ們的內切圓與外接圓半徑之比. (注:直角三角形中,a+b=c+2r;c=2R).

例11 如圖2，已知C為線段AB上一點，△ACM和△BCN均為等邊三角形，AN和BM交于G，AN和CM交于D，CN和BM交于E.

①設P為AN的中點，Q為BM的中點，求證△CPQ為等邊三角形.

②連結MN，求證AN>12(AM+MN+NB).

分析 ①欲證△CPQ為等邊三角形,只須證CP=CQ=PQ或CP=CQ,∠PCQ=60°,

因為△ACM和△BCN均為等邊三角形,內角60°所以選第二個思路.

ね2

可證△ACN≌△MCB(SAS)→CP=CQ→△CPN≌△CQB→∠PCQ=60°.

圖3

注 ①若三角形中有中點,要想到中位線,這樣可平移線段(而且還有等量關系).

②在三角形內有一點P,則AB+AC>PB+PC成立(記住某些結論,有利于高起點解題或迅速找到解題的突破口).

例12 如圖3，已知AD是△ABC中∠A的平分線，AE是∠A外角∠CAM的平分線，AD、AE分別與BC及其延長線交于點D、E，F是DE的中點，求證：AF2=FB?FC.

分析 欲證AF2=FB?FC,只須△FAC∽△FBA,只須∠B=∠CAF,

而∠B=∠ADC-∠BAD,∠CAF=∠DAF-∠DAC.顯然∠BAD=∠DAC，可證△DAE是Rt△,而F是斜邊中點，所以∠DAF=∠ADF，故∠B=∠CAF.

注 三角形中一個角的內、外角的平分線互相垂直.

還有一些題是通過計算推理得到證明的,比如:

1.已知點A1,B1,C1將△ABC的三邊分為AA1A1B=BB1B1C=CC2.設梯形的兩對角線與兩底所圍成的兩個三角形的面積分別為p2和q2，求證該梯

數學思想是數學思維的導向.在初中主要有字母代數的思想,方程的思想,轉化(化歸)的思想,函數的思想,數形結合的思想，分類的思想,公理化的思想.

數學方法是在數學思想指導下,為數學思維活動提供具體的實施手段.如配方法,待定系數法,換元法,枚舉法,構造法,割補法,拆項法,解析法,反證法等.

掌握和運用數學思想方法是數學學習的重要組成,因為“沒有脫離數學知識的數學思想方法,也沒有不包括數學思想方法的數學知識”.比如：

方程的思想:方程是已知量和未知量的統一體,是從已知探索未知的橋梁.

分類的思想:情況不明需分類,當我們遇到復雜的,多層次的,不確定的問題,可先將有關變量劃為較小的取值范圍(區間或區域),使“復雜的,多層次的,不確定的”轉化為“簡單的,單層次的,確定的”情形,由于各類情形單一便于解答.

例14 如圖5，已知Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm,AB=8cm,D,E,F分別為AB,AC,BC上的中點,若點P為AB邊上的一個動點,PQ∥BC且交AC于點Q,以PQ為一邊在點A的異側作正方形PQMN,設正方形PQMN與矩形EDBF公共面積為y,當AP=xcm時,求函數y關于x的解析式.圖5

分析 由圖不難看出,正方形PQMN與矩形EDBF公共面積分三種情形:

①PD

②DE≤PQ≤83,此時2≤x2<83，即4≤x≤163時，y=2?x2=x;

③83

綜上y=14x(3x-8)A(83

ハ抻諂幅,其它數學思想不再一一例舉.

經驗告知我們,任何一種數學思想方法的學習與掌握,絕非一朝一夕的事,也非操之過急靠講幾節“專題課”所能奏效.它需要師生共同努力,重在平時有目的地進行培養,需要經歷滲透、反復、逐級遞進、螺旋上升、不斷深化的過程.事實上,數學思想方法在學生頭腦中一旦形成理念,其數學能力及數學素養必將得到升華.

2 怎樣的數學課算好課

數學教學是數學活動的教學,是師生之間,學生之間互往互動共同發展的過程.教無定法但有法可循.一堂課的好差不取決于形式,不取決于多媒體運用的多少,更不取決于花架子.我認為一堂好課就是要看:

①能否激發學生探索的欲望和解決問題的熱忱，使他們能夠積極主動參與學習活動(是主動參與,還是被動參與?是實質性參與,還是形式上參與?)；學生是否通過自己的思維高效率高質量地學習數學?(一堂課他們都學到了什么?).

②能否從學生的實際出發，客觀地展現知識發生發展的過程，展現數學思維的活動及深入過程？教師只講結論和應用,不講結論的由來與發展;只講這樣做,不講如何想,即使講的再多、練的再多、形式再花哨也是不可取的.

多年的教學讓我認識到對數學課可從以下八個方面進行考察:

1.對教材處理的科學性、靈活性和藝術性；

2.對教學過程設計的展開性、合理性和巧妙性；

3.對課堂結構建造的整體性、緊湊性和特色性；

4.對教法選擇的多樣性、綜合性和補償性；

5.對學法指導的針對性、具體性和有效性；

6.對板書設計的直觀性、藝術性和重點突出性；

7.對教具（包括多媒體）使用的恰當性和實效性；

8.對教學基本功（如說、讀、寫、繪等技能）的扎實性和熟練性.

3 如何提高數學教學質量

3.1 認真鉆研教材

課堂教學活動是提高教學質量的關鍵,搞好課堂教學,一定要事先精心備課,因為教學是最需要充分準備的工作.教材是知識的載體,體現著教學大綱的精神和要求.所以，教師要認真解讀教材，了解具體教學內容在教材體系中的地位和作用，掌握“三基”應達到的要求，認真研究例、習題，把握教材的深度和廣度.如果能夠理解、掌握、熟悉、駕馭教材,教學中才能夠擺脫對教材的照本宣科、機械套用,而做到左右逢源、得心應手.

我們知道,備課不備課、備課充分不充分,其教學效果是大相徑庭的.公開課、示范課、觀摩課比平時備課要充分得多,可是講后仍有這樣那樣不盡人意的地方,“教學是遺憾的藝術”,我們力求遺憾少效率高.

教師要立足于研究問題,學會對自己的教學行為進行反思,一堂課下來,哪些值得肯定、哪些不足、學生反映如何?有什么閃光點(如學生提出的有價值的問題、巧妙的解題方法等)?做好教學補記,隨時修正或調整自己的教學方案.日積月累必見成效,這也是個人的寶貴的教學財富.

3.2 積極參加集體教研

ジ鋈說娜鮮妒怯邢薜,集體的智慧是無窮的.“聽君一席話，勝讀十年書”，只有多學習、多交流,才能更好地啟迪自己、豐富自己.事實上,教師對教材的理解與把握、對教法的感悟與實踐、對學生的了解與定位、對工作的態度與追求都是有差異的.教學的進步需要學術的爭鳴,沒有爭鳴教學就會成為一潭死水沒了生氣.如果能夠真正開展知無不言、各抒己見的教研活動,相爭相融、和諧發展,那么一定能使教學精益求精、達到爐火純青.當然,教研活動能否深入開展,與組內教師之間的相互尊重、相互理解、相互包容是分不開的；與組長的領導藝術與學術水平分不開的；特別地，與校領導的獎勵政策也是分不開的.

3.3 讀一些專業書籍或數學期刊

讀一些教育教學理論以及數學學科的教育教學理論,用教學理論及教育新理念指導教學實踐.這樣,既可以與時俱進防止觀念老化,又可以使自己的教學經驗上升為理論使之更具有科學性;

讀一些數學專業期刊發表的有較高學術水平的教學論文，從中汲取營養,啟迪思維,彌補自己教學上的不足;

讀一些有針對性的課外書籍,開闊視野、不斷豐富知識,使自己的教學居高臨下、深入淺出、靈活自如、更上一層樓.

3.4 經常解題

解題實踐是數學能力形成的重要途徑,也是數學能力高低的重要標志.通過解題,可以發現困難與障礙所在,提煉歸納解題規律和方法;通過解題,可以更好地領悟數學思想方法的精髓,體會數學的本質;通過解題,可以見多識廣、發現該題是否精典,是否具有代表性,能否作為新課或復習課的例題、練習題、作業題以及試題;通過解題,把那些融雙基于一體、呈現數學思想及通性通法的好題篩選出來，達到舉一反三、觸類旁通、避免題海戰術和提高教學效率的目的.

3.5 研究教法與學法

教與學是藝術,藝術的生命在于靈活與創新.一成不變的教與學會使教學窒息；一味追求形式新穎、華而不實也會造成教學飄浮.只有同具體教學內容聯系起來,當其適應于教學內容的邏輯要求時,才能稱得上科學有效的教法和學法.當然，無論教和學都要扎扎實實、在理解和消化上下功夫；都必須重視知識或思維的發生發展過程,因為過程性學習,結論生動充實便于理解和掌握;理解性學習,容易建立良好的認知結構,便于知識和能力的運用與正遷移.

3.6 撰寫教學論文

借口工作忙而不愿寫教學論文是對自己的遷就,撰寫教學論文是教師應該具備的素質.當然,撰寫教學論文不是教學的目的,要求并鼓勵教師撰寫和發表教科研論文,可以提高教師對知識理解的深入及對教學本性的認識,使之更好地按照科學規律從事教學,真正達到提高教學質量的目的.因為教科研無止盡,教師就不會孤陋寡聞、固步自封,更不會孤芳自賞、盛氣凌人,而是增強教科研意識,謙虛謹慎、不懈努力、深入鉆研、勇攀高峰,正像教育家蘇霍姆林斯基所言：“才會感到教學的樂趣,而不使天天上課變成一種單調乏味的義務.”

4 結束語

中科院工程院院士徐匡迪說得好:“教育是事業,事業的意義在于獻身;教育是科學,科學的價值在于求真;教育是藝術,藝術的生命在于創新.”我想,如果我們每位數學教師都能夠把數學教育作為事業去不斷追求、作為科學去不斷探索、作為藝術去反復錘煉,“學為人師、行為世范”,那么我們的數學教育必能去掉浮躁、摒棄功利、健康發展,成為知識應用、傳播和創新的主陣地,在培養人才和提高全民素質方面發揮著重要的不可替代的作用.

げ慰嘉南祝

おぃ1］ 蔣世信. 高中數學教學與解題藝術［M］.中國林業出版社,2006.1.オプ髡嘸蚪椋航世信,1946年4月生，北京市人，1969年畢業于北京師范大學數學系(5年制).中學高級教師，曾任北師大燕化附中教學副校長.長期從事高中數學教學與研究，倡導建立完整的課堂教學結構，用系統論、信息論、控制論指導教學過程.從1982年起，先后在中學數學期刊上發表文章50余篇.