ＲＭＥ思想及其在中學數學教學中的應用與啟示

孫雪梅

おぴ頗锨靖師范學院數學與信息科學學院 655011

オ

弗賴登塔爾(Hans Freudenthal，1905—1990)提出 “數學應該被看成是人類的一種活動”的教育理念，以及他的“數學必須聯系現實，必須貼近孩子，必須與社會相聯系；數學教育的重點不是讓學習者在一個封閉的系統中處理數學，而是讓他們在一種數學化的過程中學習數學，這個“數學化”的過程必須是由學習者自己主動完成的，而不是任何外界強加的^[1]”等“數學現實教育”思想對數學課程理論、教學方法，以及大眾數學的主張產生了影響深遠.

RME (Realistic Mathematics Education)（即現實數學教育）思想產生于以荷蘭數學教育家弗賴登塔爾為代表的荷蘭數學教育研究，它是對上世紀60年代美國“新數學”運動和荷蘭“機械數學教育”的挑戰.

1 RME（現實數學教育）思想的基本內涵

RME是自1971年以來荷蘭弗賴登塔爾所研究、倡導和推行的一種開創性的數學教與學的途徑，被廣泛地視為弗賴登塔爾Institute的標志.RME的基本觀點是，認為從學生經驗上看來，真實的數學活動是可以促進學生有意義學習的.學生在學習的過程中，通過探究、建構性活動和對話交流等一系列數學化了的活動來自主學習數學知識，獲得數學理解^[1].

從上世紀60年代末開始的現實數學教育改革，經過近四十年的發展，RME已形成了結構完整、內涵豐富的思想體系.對它的思想體系的把握，應弄清RME中的“現實”和“數學化”這兩個重要概念.

1．1 現實（Realistic）

弗萊登塔爾主認為“現實”就意味著獲得數學常識的經歷是現實的，每個人都要在真實的過程中逐漸積累數學知識^[3].

RME中的“現實”的涵義是：首先，RME強調要給學生提供他們自己可以想象的現實問題情境.這就意味著問題的內容可以是來自于現實世界的.

其次，RME中所涉及的現實，不僅包括與現實世界相聯系的一些問題情境，還包括那些成為常識的數學知識，即“數學現實”.“現實”不一定限于具體的事物，作為屬于這個現實世界的數學本身，也是“現實”的一部分.每個人也都有自己所接觸到的特定的“數學現實”.

最后，“現實”一詞還意味著學生獲得數學知識的經歷是真實的.每一位學生都親身經歷、參與了知識獲得的全過程，他們有自己獨特的感受和體會，有自己的付出和收獲，更有同伴間的交流和幫助.這些經歷都是真實存在的，是學生們的知識、技能、情感發展的真實反映.

由此，“現實”表達了RME的如下特征^[4]：①現實數學教育是現實（realizing）的，即現實數學教育與學生熟悉的生活密切相關，學生通過自己熟悉的生活來學習數學，作為教育內容的數學和現實生活中的數學始終緊密的聯系在一起.這一點體現出了現實數學教育內容的“現實性”.②現實數學教育是實現（realized）的，即現實數學教育與數學的“再創造”緊密相連，學生所學的數學知識不是教師課堂灌輸的現成數學成果，而是在教師引導下由學生自己發現和得出的結論.這一點體現出了現實數學教育過程的“實現性”.

1．2 數學化(Mathematizing)

數學化是數學教育的主題^[5]，現實數學教育是關于數學再發現的教育.這里的“再發現”就是數學化.所以，現實數學教育也可稱為是關于如何實現數學化的教育，數學化是現實數學教育思想體系中最重要的概念.

弗賴登塔爾認為，人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體的現象，并加以整理組織，這個過程就是數學化.簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化^[7].

一般來說，數學化是一種由現實問題到數學問題，由具體問題到抽象概念的認識轉化活動，是人類發現活動在數學領域里的具體表現^[8].RME中所說的數學化，泛指學習者從一個具體的情境問題開始，到得出一個抽象數學概念的教育全過程.這個過程中，就包括運用數學的知識、數學的語言和數學的方法去處理現實材料^[4].

數學化分為兩個層次：水平數學化和垂直數學化.水平數學化是指由現實問題到數學問題的轉化，是把情境問題表述為數學問題的過程.大體包括以下內容：確定情境問題中包含的數學成分；建立數學成分與已知的數學模型之間的聯系；通過不同的方法使這些數學成分形象化和公式化；找出蘊涵在其中的關系和規則；考慮相同數學成分在不同情境問題中的表現；做出形式化的表述等.水平數學化是發現情境問題中的數學成分，并對這些成分作符號化處理的數學化過程，是從生活世界到符號世界的轉化過程.經過水平數學化，現實問題變成了數學問題.垂直數學化隨之出現，它是從具體問題到抽象概念的轉化，是建立數學問題與數學系統之間關系的過程.垂直數學化大體包括以下內容：用公式表示關系；對規則做出證明；嘗試運用不同的數學模型；對數學模型進行調整和加工；考慮不同數學模型的結合和形成統一的新模型；對得到的新數學概念做出公式化的精確表述；對問題一般化和推廣等.垂直數學化是在數學的范疇內對已經符號化了的問題作進一步的抽象化處理的數學化過程，是從“符號”到“概念”的轉化^[4].

因此，水平數學化包括從現實世界到符號世界的過程；而垂直數學化就是符號世界中的活動，即水平數學化讓學生從生活世界走進符號世界，垂直數學化讓符號語言得以在數學范疇中塑造、被塑造，以及被操作等.

2 RME教學模式

在RME教學思想指導之下有三種教學方式^[3]：（1）通過漸進式的數學化引導再創造（Guided Reinvention Through Progressive Mathematizing）；（2）教學的現象學分析（Didactical Phenomenology Analysis）；（3）即時建模（Emergent Models/Emergent Modeling）.“通過漸進式的數學化引導再創造”，就是說學生數學學習的過程實際上就是學生“再創造”數學概念、性質、定理的過程.在這個過程中，教師的作用是要對學生的再發現過程進行有利的引導.“教學的現象學分析”重在于討論學生數學學習的起點——現實情境問題的有效創設.而“即時建模”則是討論如何有效地使數學理解、數學思維從情境層次向更高層次發展的一種教學行為.

根據RME的思想，結合三種教學方式的內涵，可以得到一個基本教學模式^[9]（見圖1）：

ね1 RME教學模式示意圖

其中的數學化過程是漸進的，有四個層次^[2].

第一個層次是情境層次（situation level）.這個層次跟問題情境相關，它針對某一專題，促使知識能在情境中運用.學生在這一層次的活動主要是從背景信息中找出符合的條件，思考怎樣解決問題.

第二個層次是指涉層次（referential level/model of）.這個層次涉及利用具體的數學模型（或者是數學式子）去代表特定的數學對象，所用到的數學模型和策略必須指涉問題所衍生的情境.

第三個層次是普遍層次（general level/model for）.這是一種過渡性層次，主要是使用具有普遍意義的數學模型去分析蘊含的關系.這時模型的建立不再依賴背景環境，而是單純地從數量關系中尋找數學關系.

第四個層次，也是理解的最高層次，稱為形式層次（formal level）.這個層次允許學習者進行純粹思維、反思及欣賞活動，這是因為數學對象已經引用在數學范疇內規范化的步驟和符號進行表述和操作的緣故.

不同的數學化層次，從本質上來說就是從尋求非正式的、與問題情境相聯系的結論到一定程度的系統化，再到對隱藏在問題情境背后的一般性原理的深層次的理解，以及能夠透過部分獲得對整體的把握等等.

數學化層次的變化，體現出的是數學化的變化過程（見圖2）.學生思維在情境層次、指涉層次的活動，主要體現了其水平數學化，這是一個由現實世界到符號世界的過程.學生的行為處于“領受”階段；在符號世界中的活動，即垂直數學化，主要涉及思維的普遍層次和形式層次.學生逐漸深入知識的內部，領會知識的內涵及發現知識生成的初步或基本的規律，拓展知識，即為“領悟”階段；處于形式層次的思維活動，學生對知識進行反思、擴展和欣賞，運用知識解決其他問題，發展了知識的遷移，達到“提升”階段.

ね2 RME教學中的數學化層次示意圖

3 RME教學案例

案例^[10]：初中課題學習——打包問題.

教學過程：（1）創設情景，提出問題

現實情景：有些商品是若干件被裝在一起按包銷售的，例如一包火柴中裝有10盒火柴、一大包紙巾中裝有10小包紙巾、一條香煙中裝有10包香煙等.不同商品的打包形式常常不同，請同學們收集一些這樣的商品，先看其外觀，再打開包裝看內部的擺放形式.它們打包后的外包裝形式一樣嗎？哪一種包裝形式更能節省外包裝材料呢？

為了討論方便，先定義一種“規則打包”法：打包時要求包內相鄰兩物體必須全等的側面對接，打包后是一長方體.

更數學化地提問：

問題1 火柴、香煙或其他長方體的物品，按“規則打包”的方法將10包打成一大包，打成一個大包，怎樣打包可使表面積最小？請以10包香煙（88mm×58mm×22mm）來進行討論.

（2）活動探究，解決問題

學生用實物進行擺放，找出解決問題的方案：對各種可能的打包方式由具體數據算出面積，再從中挑出最小的，它對應的打包方式就是我們所要的.

活動1 根據方案，第一個要解決的問題是，按照規則打包，到底有幾種不同的擺放方式.這是問題的難點和關鍵所在.

通過實物操作活動，學生尋找不同的打包方式.但是很多學生不能找到所有的打包方式.

教師引導學生數學地思考：10的分解因數只有兩種：10＝1×10和10= 2×5.先就1×10的打包方式來看，一個煙盒有三個大小不同的面，把它們分別標記為x、y、z，且x>y>z.只有三個方向可以1×10，由此對應三種打包方式（見圖3（1）~（3））；而對于 2×5 型的打包方式中，“2”的方式就有三種，對于其中的每一種，“乘5”的方式還有兩種，故有六種打包方式（見圖3（4）~（6））.因此10包香煙按規則打包共有九種打包方式.

活動2 先讓學生進行直觀估算，哪些表面積一定大，又不美觀，哪些表面積會較小.然后再讓學生根據具體數據算出各種打包方式的表面積.

1×10型： S1=2x+20y+20z

=74448mm2

S2=20x+2y+20z=131872mm2

おS3=20x+20y+2z=144152mm2

2×5型：

S4=10x+4y+20z

=84304mm2

S5=4x+20y+10z

=94864mm2

S6=4x+10y+20z

=65296mm2

おS7=20x+10y+4z=126544mm2

S8=20x+4y+10z=122584mm2

おS9=10x+20y+4z= 71896mm2

ザ哉餼胖執虬方式的表面積進行比較，可知打包方式（6）是表面積最小的.

（3）探究討論，發展問題

問題2 如果不給出長方形三條邊a、b、c的具體數據，只給出a≥b≥c，你能否知道哪一種打包方式的表面積最小？

チ顇=ab,y=ac,z=bc，則有x≥y≥z，所以x的正系數越小面積就越小.說明面積大的面被對接的越多，面積被抵消的也越多，打包后的表面積就越小. 所以不給出具體的數據，也能知道哪種打包方式的表面積小.

問題3 是否方式（6）一定是表面積最小的？

引導學生進行比較，方式（1）～（3）中，方式（1）最省；方式（4）～（9）中，方式（6）最省.

而S1-S6 =10ac-2ab=2a(5c-b)，

故當5c-b>0，方式（6）省.當5c-b<0時，方式（1）省.

問題4 香煙的真正包裝方式是方式（4），并非方式（6），為什么？

因為香煙打包要考慮從長方形紙上下料，剩料最少；

表面積最小的打包形式不一定是美觀和實用的，方式（4）更便于攜帶；

打包的表面積最小和最省包裝并不完全一致；

……

（4）課外研究，應用拓展：

①根據上面的結果，給出十包以下的物品打包后，具有最小面積的打包形式.

火柴：a=46mm, b=36mm,c=16mm

書本：a=183mm, b=129mm,c=20mm

②將6包香煙打成一包，表面積不同的打包方式有幾種？其中表面積最小的打包方式是怎樣的？

③選做：將上題中的6包改成12包或8包，結果怎樣？有沒有一個更一般的處理這類問題的程序？

④選做：你能設計一個新的打包問題嗎？由打包問題你還能聯想到哪些相關問題？你有解決這些問題的想法或方案嗎？

教學評析

首先，這個教學案例，在教學設計上體現了RME的教學模式.

創設現實情境，讓學生思考一個實際問題，然后通過學生的探究活動和教師的引導，把數學知識應用于問題解決，獲得了對問題的非正規性和正規性解答.并在解決問題的基礎上進行推廣、深化，讓學生不僅會解決這一問題，而且會對更一般的問題建立數學模型，分不同情況討論結果.

其次，這個教學設計體現出了RME思想.在解決問題的過程中，學生的數學思維發生了不同層次的變化.

情境層次.教師提出一個問題：火柴、香煙或其他長方體的物品，按“規則打包”的方法將10包打成一大包，打成一個大包，怎樣打包可使表面積最小？這個情境問題來源于真實情境.學生在這個真實情境中活動，通過擺放實物的活動來尋找求解的方案.

指涉層次.根據學生在尋找打包方式時的分類混亂，出現少找或多找了打包方式的情況.教師進一步引導學生數學地思考：10的分解因數只有兩種：10＝1×10和10= 2×5.由此對10包香煙打成一包所有可能的打包形式作簡明透徹的分析，然后再通過估算和計算，就很容易地解決了問題1.

普遍層次.接著教師又提出問題2和問題3，將問題的條件一般化，使結果有更好的適應性.這樣既把前面的討論推廣到一般，讓學生學會建立數學模型，又使學生學會多角度分析、考慮問題，從而使學生的認識產生了一個飛躍.

形式層次.一方面，數學建模結果不一定和實際情況吻合.通過問題4，引導學生進一步進行反思. 另一方面，再通過課后作業，這四道題有對知識的鞏固訓練，也有對該問題的深化和拓展.使學生在數學范疇內，可利用形式化的數學方法解決各種相似甚至是相反的情境問題.比如第④題，同學會提出把長方體的包改成正方體、圓柱體的包（如飲料罐的打包問題），改變打包形式的打包問題，甚至提出打包問題的反問題：給定大包的尺寸，最多能放多少個小包？（如集裝箱問題）等.

4 RME對數學教育的啟示

プ魑一種新型的數學教育方式，RME是具有啟發性的.

（1）對改進數學教學方式的促進作用

傳統的數學教學是一種自上而下的教學，它從“具體的數學知識”或“現成的數學結論”出發，教給學生數學的“現成結果”，教師在這一過程中處于主導地位；而RME教學是一種自下而上的教學，它從“現實情境問題”出發，要學生自己通過對現實情境問題的解決去“再創造”數學的這些結果，教師僅僅起著引導的作用.

教師在設計數學教學過程時，首先要明確這節課的教學內容，并且結合學生的學習實際情況，預測學生的數學現實.在數學現實的指導下，創設合宜的現實情境問題，將所要討論和學習的數學知識融于現實情境問題之中.在解決問題的過程中，學生不斷地進行數學活動，其中就包括對問題的非正規性解答和正規性解答.教師處于一個引導者的角色，促進學生數學化過程的順利過渡.最終學生在親自參與的數學活動過程中獲得感受和體驗，最后又將這些感受和體驗上升為新的數學現實.在學習的過程中，要注重水平數學化和垂直數學化的過程.低理解水平層次上的數學化，可以成為較高理解水平層次上探究的敲門磚.高理解水平的活動是低理解水平積累和反思的結果.這意味著，一開始以非正規的方式所進行的活動，后來經過反思以及作為反思的結果，會變得越來越正規了.學生一旦較好地經歷了這兩個過程，理解了在這些過程中思維的發展變化，那么將有利于學生的數學現實就不斷增加，他們數學能力也會得到提高.ィ2）對數學課程改革的指導性作用

《數學課程標準》提出了“大眾數學”的教育目標：“人人學有價值的數學、人人都能獲得必需的數學、不同的人在數學上得到不同的發展”.對于學生的數學學習的內容，則應當是“現實的”、“有意義的”、“富有挑戰性的”，內容要“有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流”.學生的“學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”、“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式.” ^[11]由此可見，我國正在進行的新一輪的數學課程改革，與RME的教育思想有相似之處.對RME教學思想的理解，將有利于教師角色的轉變，有利于教師對新教材的理解、處理和把握.

特別是在中學的數學教學中，RME思想和教學模式為教師如何設計教學過程、怎樣體現學生學習主體性提供了幫助.RME教學模式中“現實情境問題”的運用，架起了現實世界與抽象世界之間的橋梁，不但能激發學生的學習積極性，更讓學生明白數學學習的意義和作用.教師在分析教材和進行教學設計時，要注意將數學知識與現實相聯系，體現數學的工具性.學生學習數學的過程是一個數學化的過程，其中要有充分的活動和交流，自己的體驗和感受也是學習的一部分.通過學習過程中的活動，能使學生運用數學工具來解決現實問題，從而發展自己的數學知識，增強數學學習的體驗，激起學生更強的數學學習的求知欲和興趣.

げ慰嘉南祝

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ぃ11］ 中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）［S］.北京：北京師范大學出版社,2001．2．

プ髡嘸蚪椋核镅┟罰女，1970年生,云南大關縣人，副教授,公共數學與教材教法教研室主任. 云南師范大學碩士，學科教學論（數學）方向. 曾評為曲靖市中等職業學校第二批市級文化基礎學科（數學）帶頭人、云南省中等職業學校省級文化基礎學科（數學）帶頭人.有多篇論文發表，榮獲過第四次“全國優秀職教文章”評選一等獎.