精彩紛呈的“角”

孟　坤　高　新

運(yùn)用解直角三角形的知識解決實際問題的應(yīng)用題是近幾年來中考的熱點(diǎn)題型，在這些問題中，有許多都與“角”有著密不可分的關(guān)系. 舉例說明如下.

1 仰角和俯角

在進(jìn)行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角（如圖1）. 仰角和俯角是指視線相對于水平線而言的，可記為“上仰下俯”.

ね1圖2

例1 （2008襄樊市）如圖2，張華同學(xué)在學(xué)校某建筑物的C點(diǎn)處測得旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為30°，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°．若旗桿底部B點(diǎn)到建筑物的水平距離BE=9米，旗桿臺階高1米，則旗桿頂點(diǎn)A離地面的高度為米（結(jié)果保留根號）．

分析 過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由仰角的定義知∠ACD=30°，由俯角的定義知∠BCD=45°. 線段CD把△ABC“分割”成Rt△ACD和Rt△BCD，利用公共直角邊CD溝通Rt△ACD和Rt△BCD之間的聯(lián)系，進(jìn)而直接求解.

解 過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則有CD=EB=9米.

在Rt△BCD中，因為∠BCD=45°，所以BD=CD=9米.

在Rt△ACD中，因為tan∠ACD=ADCD，即tan30°=AD9，所以AD=9×tan30°=9×33=33（米），所以AB=BD+AD=9+33（米），

因為旗桿臺階高1米，所以旗桿頂點(diǎn)A離地面的高度為(10+33)米. 故填(10+33).

2 方向角

在平面上，過觀測點(diǎn)O作一條水平線（向右為東）和一條鉛垂線（向上為北），則從點(diǎn)O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角. 例如，圖3中“北偏東30°”是一個方向角，又如“西北”即指正西方向與正北方向所夾直角的平分線，此時的方向角為“北偏西45°”.

圖3圖4

例2 （2008年自貢市）我市準(zhǔn)備在相距2千米的A、B兩工廠間修一條筆直的公路，但在B地北偏東60°方向、A地北偏西45°方向的C處，有一個半徑為0.6千米的住宅小區(qū)（如圖4），問修筑公路時，這個小區(qū)是否有居民需要搬遷？

（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,3≈1.73）

分析 解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，只要過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，就能得到兩個直角三角形. 這樣就把△ABC的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題來解決.

解 過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D.

在Rt△ACD中，因為∠CAD=90°-45°=45°，所以 AD=CD.

在Rt△BCD中，因為∠CBD=30°，所以BD=CDtan∠CBD=CDtan30°=3CD.

又因為BD+AD=AB=2，所以3CD+CD=2，解得CD=23+1≈0.73（千米）

因為0.73千米>0.6千米，所以修筑公路時，這個小區(qū)的居民不需要搬遷.

3 坡角

如圖5所示，坡面與水平面的夾角（用α表示）叫做坡角；我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或坡比），常用字母i表示，即i=hl=tanα，坡度一般寫成l∶m的形式（比的前項為1，后項可以是小數(shù)）.

ね5圖6

注意 坡度不是一個角的度數(shù)，而是一個比值；坡度與坡角的關(guān)系是坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡.

例3 （2008年懷化市）某校教學(xué)樓后面緊鄰一個土坡，坡上面是一塊平地，如圖6所示，BC∥AD，斜坡AB長52106m，坡度i=9∶5．為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對該土坡進(jìn)行改造，地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過45°時，可確保山體不滑坡．

（1）求改造前坡頂B到地面的垂直距離BE的長；

（2）為確保安全，學(xué)校計劃改造時保持坡腳A不動，從坡頂B沿BC削進(jìn)到F處，問BF至少是多少米？

分析 （1）過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，在Rt△AEB中，利用坡度和勾股定理即可求得BE的長；（2）欲求線段BF，需構(gòu)造直角三角形，為此連結(jié)AF，過F作FG⊥AD于G，則有BF=EG，于是就把線段BF轉(zhuǎn)移到Rt△AFG的邊AG上.

解 （1）過點(diǎn)B作BE⊥AD，E為垂足.

由坡度i=BEAE=95，可設(shè)BE=9k，AE=5k（k為正數(shù)）.

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2，所以(5k)2+(9k)2=(52106)2,

解得k=52. 所以AE=5k=5×52=12.5（米），BE=9k=9×52=22.5（米）.

所以改造前坡頂B到地面的垂直距離BE的長為22.5米.

（2）過點(diǎn)F作FG⊥AD，G為垂足，連結(jié)FA. 則有BF=GE，F(xiàn)G=BE=22.5米.

在Rt△AFG中，tan∠FAG=FGAG=FGAE+EG.

由題意得，22.5BF+12.5≤tan45°. 解得BF≥10.

所以坡頂B沿BC至少削進(jìn)10米才能確保安全.

從以上實際問題中可以看出，在圖形中準(zhǔn)確地識別各“角”是解題的關(guān)鍵. 如果題目中沒有圖形，要根據(jù)條件，準(zhǔn)確地畫出圖形；當(dāng)題目中沒有直角三角形時，還要根據(jù)條件構(gòu)造出直角三角形，以便找出關(guān)鍵的“角”與“邊”之間的關(guān)系.プ髡嘸蚪椋好俠ぃ中教一級，棗莊市骨干教師. 長期從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)教研工作，曾在國家及省級刊物上發(fā)表文章百余篇. 曾主編或參編《中華學(xué)王》、《學(xué)案練案》等多部圖書.