數學教學要讓學生學會“探索”

張　超

倡導積極主動、勇于探索的學習方式是新課程標準的基本理念之一，《普通高中數學課程標準(實驗)》指出：“數學學習不僅僅是記憶一些重要的數學結論，更要發展數學思維能力和積極的情感態度，這就需要學習者有積極主動、勇于探索的精神，需要有自主探索的過程.”

在數學教學中，教師要善于引導學生主動探索，積極開展思維活動，在大量的探索中提高獨立思維的能力.本文試圖從觀察、試算、歸納、聯想、類比等探索過程的基本思維活動，談談引導學生進行“探索”的做法和體會.

1.觀察

觀察是思想的起點，數學觀察則是人們對數學問題在客觀情景下考察其數量關系及其圖形性質的方法.解決數學問題首先要從觀察開始，通過觀察已得到的信息，聯系已有知識，經過思維分析，求出未知信息.因此在數學教學中，教師應引導學生掌握數學觀察的方法，培養學生良好的數學觀察品質，進而形成敏銳的觀察能力.

1.1 觀察隱含條件，培養觀察的嚴密性

“隱含條件”是指題中若明若暗、含而不露的已知條件，往往不易被發現，如：函數的定義域；一元二次方程的二次項系數a=0情形；應用均值不等式求最值的“一正、二定、三相等 ”的相等條件；等差數列公差為0、等比數列公比為1的情形等.教學中應引導學生觀察時全面、細致、充分挖掘，使解題圓滿而無“雜、漏”.

1.2 觀察內在規律，培養觀察的敏銳性

有時條件中蘊含了非常巧妙的內在規律，這些規律往往反映了問題的本質，令人拍案叫絕，而這些規律的發現，需要我們用敏銳的目光去觀察，去挖掘.

例1 設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)=x²，若對任意x∈［t,t+2］，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，則實數t的取值范圍是 .

解析：因f(x)是分段函數，一般用分類討論的方法求解，但過程繁冗.深入觀察發現：2f(x)=f(2x)，化為f(x+t)≥f(2x),利用f(x)在R上單調遞增即可獲解.

1.3 觀察數式，聯想圖形，樹立學生數形結合的思想意識，培養觀察的全面性

數和形是數學知識體系中兩大基礎概念，把刻劃數量關系的數和具體直觀的圖形有機結合，將抽象思維與形象思維有機結合，根據研討問題需要，把數量關系的比較轉化為圖形性質或其位置關系的討論，或把圖形間的待定關系轉化為相關元素的數量計算，由數想形，以形助數，引導學生樹立數形結合的意識，進而培養觀察的全面性.

1.4 觀察參變量關系，培養觀察的獨特性

許多數學問題，都含有常量、參量和變量(統稱為元素)，這些元素中，必有某個元素在問題中處于突出的、主導的地位，這樣的元素叫主元.但在處理含有參數與主變量的有關問題時，我們往往突破思維定勢，選取參變量為主元，而視原來的“主元”為參量，反客為主，化難為易，化繁為簡.

例2 設方程x²+ax+b-2=0(a,b∈R)在(-∞，-2］∪［2，+∞)上有實根，求a2+b2的取值范圍.

解析：本題若直接由條件出發，利用實根分布條件求出a,b滿足的條件，即在aOb坐標平面內表示的區域，再視a2+b2為區域內點與原點距離的平方，以此數形結合方法，亦可獲解，但過程很繁瑣.考慮到變量a,b是我們要面對的主變量，故我們反客為主，視方程x²+ax+b-2=0(a,b∈R)為aOb坐標平面上的一條直線l:xa+b+x²-2=0,P(a,b)為直線上的點，則a2+b2即為|PO|2，設d為點O到直線l的距離，由幾何條件知：|PO|2≥d2=|x²-2|x²+12=(x²+1-3)2x²+1=(x²+1)+9x²+1-6,∵x∈(-∞,-2］∪［2,+∞)，令t=x²+1,∴t∈［5,+∞),且函數t+9t在［5,+∞)上遞增，∴|PO|2≥(x²+1)+9x²+1-6=t+9t-6≥45,等號成立的條件是|PO|=d,

x²+1=5,即x=±2.故當x=2,a=-45,b=-25或x=-2,a=45,b=-25時，(a2+b2)玬in=45.

在一個含有多個變量的問題中，“主”和“客”是相對而言的，“客隨主便”理所當然，但“喧賓奪主”也未嘗不可.

1.5 觀察結構特征，培養觀察的深刻性

例3 已知x,y,z∈R且x+y+z=π，x²+y2+z2=π22.求證：0≤x,y,z≤23π.

解析：本題含3個變量，超出了學生的“承受極限”，但觀察后發現，條件可化為：x+y=π-z和x²+y2=π22-z2，分別表示直線和圓，而點(x,y)是他們的公共點，利用直線與圓的位置關系立得所證結論.

將“三元”化為“二元”是結構特征的改變，而觀察“二元”式的結構特征，用數形結合思想求解則體現了觀察的深刻性.

2.試算

有時人們為解決一個問題不是一下子就找到了辦法，而是要經過一些嘗試的步驟，對每一種嘗試都要伴隨著一些試算.

2.1 通過試算尋找條件與結論之間的數量關系

某些問題中，條件與結論之間的數量關系“深藏不露”，僅靠觀察還不能“識破廬山真面目”，只有通過計算才能“一語道破天機”.

例4(2002年高考題)已知函數f(x)=x²1+x²，則f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)= .

解析：通過試算，發現隱含在條件和結論之間的數量關系：f(x)+f(1x)=1,從而使問題簡捷獲解.

2.2 通過試算尋求解決問題的方法

例5 已知a≥1，n≥3，證明或否定：an-2+an-1≥12n-1［(1+a)n-an+1］.

解析：這其實是一個未知命題，結果難以判斷.可先用特殊試算：當n=3時，不等式變成a2+a≥14［(1+a)3-a3+1］，整理得a2+a-2≥0，即(a-1)(a+2)≥0,由a≥1知，上式顯然成立；再令n=4，不等式變成：a3+a2≥18［(1+a)4-a4+1］，整理得2a3+a2-2a-1≥0，即(a2-1)(2a+1)≥0,同樣由a≥1知，上式也成立；再令n=5,不等式變成a4+a3≥116［(1+a)5-a5+1］，整理得11a4+6a3-10a2-5a-2≥0，因式分解不易，把負的移到右邊去呢?11a4+6a3≥10a2+5a+2終于有了發現，左右兩邊的系數和是相等的，是17.如果把左邊縮小為17a3，而右邊正好可以擴大為17a3，豈不妙哉!

回頭看看n=3和n=4，同樣如此!

證明：原不等式赼n-2+an-1≥12n-1(2+C1na+C2na2+…+Cn-1猲an-1)(1-Cn-1猲2n-1)?an-1+(1-Cn-2猲2n-1)an-2≥12n-1(Cn-3猲an-3+Cn-4猲an-4+…+C1na+2),∵a≥1,n≥3,∴1-Cn-1猲2n-1>0,1-Cn-2猲2n-1>0,左邊≥(1-Cn-1猲2n-1)?an-2+(1-Cn-2猲2n-1)an-2=S,右邊≤12n-1?(Cn-3猲an-2+Cn-4猲an-2+…+C1nan-2+2an-2)=T,S-T=an-2［(1-Cn-1猲2n-1)+(1-Cn-2猲2n-1)-12n-1(Cn-3猲+Cn-4猲+…+C1n+2)］=an-2［2-12n-1(1+Cn-1猲+…+C1n+1)］=0.

故左邊≥右邊，于是不等式得證.

通過試算特殊值，尋求問題的一般解法，體現了從特殊到一般的過程；通過試算，可以激發學生興趣，開闊眼界，更重要的是能培養學生不墨守成規，敢于嘗試，大膽發現的進取精神.

2.3 通過試算找出反例否定一些錯誤論斷

費馬猜想是數學史上著名的案例：1640年，費馬驗證當n=1,2,3,4時22n+1均為素數，于是得出了22n+1為素數的猜想，但一個世紀后，歐拉指出225+1=4294967297=6700417×641，從而推翻了費馬的猜想.

3.歸納

歸納是觀察某一類事物在某一性質上有明顯相似之處，若能構成一種判斷，則說我們對這類事物經過歸納發現某種性質.歸納法有完全歸納法和不完全歸納法之分.后者雖說是不嚴格的，但常常是發現真理的橋梁.

如中學課本中有8個同角三角函數的基本關系式：①玸inα?玞scα=1,②玞osα?玸ecα=1;③玹anα?玞otα=1;④玹anα=玸inα玞osα;⑤玞otα=玞osα玸inα;⑥玞os2α+玸in2α=1;⑦1+玹an2α=玸ec2α;⑧1+玞ot2α=玞sc2α，在此后可編造成千上萬的同角三角函數的恒等式.比如課本中就有幾個證恒等式的問題：玞ot2α(玹an2α-玸in2α)=玸in2α;(1-玸in2α)(玸ec2α-1)=玸in2α(玞sc2α-玞ot2α);玹an2θ-玸in2θ=玹an2θ玸in2θ;玞osα1-玸inα=1+玸inα玞osα.

我們作一個對換：在上述任一恒等式中將玹an換成玞ot,玞ot換成玹an,玸in換成玞os,玞os換成玸in,玸ec換成玞sc,玞sc換成玸ec，經過這樣變換后所得式子仍是恒等式：玹an2α(玞ot2α-玞os2α)=玞os2α;(1-玞os2α)(玞sc2α-1)=玞os2α(玸ec2α-玹an2α);玞ot2θ-玞os2θ=玞ot2θ玞os2θ;玸inα1-玞osα=1+玞osα玸inα.

至此是否可以歸納出一個命題呢?注意到在誘導公式中這樣的變換并不能得恒等式，例如玸in(-α)=-玸inα但玞os(-α)≠-玞osα，但我們可謹慎地歸納出下面 的定理：

“凡是由8個三角函數基本關系式所導出的恒等式中，同時將玸in與玞os互換，玸ec與玞sc互換，玹an與玞ot互換，所得式子仍是一個恒等式.”其證明也很簡單，將上述互換施行到基本恒等式中恰有：①茛冢②茛伲③茛郟④茛藎⑤茛埽⑥茛蓿⑦茛啵⑧茛.故定理對基本恒等式是成立的，對由此導出的任一恒等式也應成立.

4.聯想

波利亞說過，在陌生中尋找熟悉，這個尋找的過程其實就是聯想的過程.所謂聯想，是由當前感知或思考的事物想起有關的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活動.聯想是一種自覺的或有目的想象，它在我們數學活動中無處不在，運用聯想我們可以進行數形轉換，將代數問題轉化為幾何問題，或者將幾何問題轉化為代數問題；運用聯想，對數式結構進行想象，聯系有關的概念，公式、定理等，可以化未知為已知.

4.1 接近聯想——把握問題探究的“分水嶺”

數學問題的探究有時需要一個環節一個環節地進行，進行到某一個環節時，會出現不同的探究方向，即所謂的問題探究的“分水嶺”，把握好這個“分水嶺”，能使問題的探究少走彎路，減少不必要的干擾.把握好這個“分水嶺”，接近聯想是我們選用的方法之一.接近聯想主要是由概念、原理、法則、策略的接近而產生的聯想，一般教材在學習定理、法則和公式之后的鞏固和練習題中，大都借助了這種聯想.靈活地運用接近聯想，可提高解題技巧和創新能力.

例6(2003江蘇) 已知長方形四個頂點A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1).一頂點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4(入射角等于反射角).設P4的坐標為(x4,0).若1

A.(13，1) B.(13，23)

C.(25，12) D.(25，23)

解析：本題的難點在于如何找出由θ的變化而引起的入射點位置的變化，這兩者之間的關系若通過列出x4與θ的關系式，經過運算去解決，不但時間花費多，而且又不易得到正確的解答.

畫出圖形，取BC中點E，CD中點F，AD中點G，通過接近聯想，聯想物理學中的光學原理，若從P0發出的光線射到E，由入射角等于反射角，容易得到光線的路線為：P0→E→F→G→P0；若從P0發出的光線射到BE之間，按題意可畫出線路圖，得x4在以(1，2)之間，若從P0發出的光線射到EC之間，用同樣的思考方式，得x4在(0，1)之間.經計算得玹anθ<12，結合選項選C.

4.2 關系聯想——弄清所探究問題的“本質”

在探索數學問題的過程中，我們往往通過抓住問題的有關部分的特征，以及它們之間的某種聯系，根據知識之間的從屬關系、一般關系、因果關系進行的一種聯想，這種聯想稱之為關系聯想.通過關系聯想，弄清問題的本質，使問題明朗化.例如，從一個抽象問題通過關系聯想轉化為一個具體問題；從一個有數量關系問題通過關系聯想轉化為一個幾何圖形問題，由一個特殊性問題通過關系聯想轉化為一個一般問題等等.

4.3 逆向聯想——尋求問題探究的“蹊徑”

我們在解決有關問題時，時常會出現正面解決有困難，聯想到從它反面去思考，從而使問題 妥善解決.這就是我們常說的反證法、同一法等間接策略，它們所表現出來的思維方式就叫 做逆向聯想.利用逆向聯想探究問題，其表現方式不僅僅局限于此，例如，不等式證明中的分析法、立體幾何中“割與補”、“展與折”等所表現出來的思維方式都是逆向聯想.

4.4 橫向聯想——尋找問題探究的“法寶”

橫向聯想，是指數學各分支之間，數學與物理、化學、生物、地理等學科之間的聯想.由于各種知識之間有著一定的關聯和相互滲透，這為橫向聯想提供了可行的條件，利用橫向聯想，使所探究的問題“舉一反三”、“由此及彼”、“觸類旁通”.

5.類比

將不同類事物進行比較，找出不同類事物之間的某種類似之處，從而由一類事物所具有的某種規律導致發現另一類事物也具有類似的規律，這種思維活動叫類比.

5.1 概念上的類比

有些數學概念可以通過類比舊概念來得到，這樣獲取新知識自然，能有效培養學生的學習能力.這樣的問題在高考中屢見不鮮，如：2004年北京高考卷關于“等和數列”的定義及2008年 全國高考湖南卷關于“組合數”的“新”定義：設［x］表示不超過x的最大整數，對于給定的n∈N*，定義：Cxn=n(n-1)…(n-［x］+1)x(x-1)…(x-［x］+1),x∈［1,+∞)，則當x∈［32,3)時，函數Cxn的值域是 .

這些“新”定義令人耳目一新，但在方法上卻是“老曲新唱”，只要與相應的“舊”定義進行類比，稍作調整便可得解.

5.2 解題方法上的類比

數學中很多問題在解決方法上非常相似，只要進行恰當的類比，探究其本質，便可化歸為同 一類問題.如Fibonacci數列的遞推數列為：a1=1,a2=1，an+2=an+1+an，以下均可類比轉化為Fibonacci數列問題：

(1)走臺階問題：某處有n級臺階，某人從下往上走，若每次只能跨一級或兩級，問他從地面走到第n級有多少種方法?

(2)覆蓋問題：用n張1×2的長方形骨牌完全覆蓋2×n的棋盤，有多少種方法?

(3)粘郵票問題：用一元和二元的兩種郵票粘貼成一排，求粘滿n元的不同方法數?

(4)排數字問題：用數字1和2排成n位數，且要求數字1，1不相鄰，則有多少種不同的排法?

不同的問題可以用同一類方法解決，屬于多題歸一問題，再拓展遷移，就可以類似研究一題多解、一題多變的問題.如果能將所學的具有典型性的問題或題目多方變化與發散，必能大大提高學習效率，優化知識結構.

5.3 結構上的類比

利用待解決問題中的式子與學過的數學公式結構上的相似聯想到解題思路.

例7 設a,b,c為非零實數，且a+b+c=abc.求證：(1-a2)(1-b2)ab+(1-b2)(1-c2)bc+(1-c2)(1-a2)ca=4.

解析：本題用代數法證明繁冗.觀察條件式聯想到用三角中的結論：玹anα+玹anβ+玹anγ=玹anα玹anβ玹anγ代換a+b+c=abc，其中a=玹anα,b=玹anβ,c=玹anγ,α+β+γ=π再觀察求證式左邊三項，它們與玹an2α=2a1-a2,玹an2β=2b1-b2,玹an2γ=2c1-c2密切相關，因此求證式左邊可化為玹an2α,玹an2β,玹an2γ的表達式，若

又能聯想到用公式：玹an2α+玹an2β+玹an2γ=玹an2α玹an2β玹an2γ化簡表達式，則本題簡潔得證.

5.4 結論上的類比

數學上很多結論，通過探索與研究，可以延伸與推廣，有利于將一類問題整體把握.對一些命題類比遷移，通?？梢詫l件或結論進行相似變換，留同增異，如由低級推向高級，由靜態推向動態.這種對知識和方法的延伸與推廣，有利于思維的變異和發散，通過類比、猜想、探索和發現將知識和方法進行遷移，易于思維品質的提高和知識結構的優化.

我們在教學實踐中體會到，不失時機地引導學生自主探索，通過親身實踐發現問題、尋找客觀規律，然后采取適應事物規律的方法因勢利導去解決問題，有助于學生養成獨立思維的習慣，培養創造性地解決問題的能力，體驗“山重水復疑無路”的迷茫，享受“柳暗花明又一村”的喜悅.