使用判別式求值域的錯解分析

吳文慧

對于實系數一元二次方程ax²+bx+c=0，我們將△=b2-4ac稱為它的判別式.解數學題時，我們經常會使用到△.判別式法的實質是將函數值域問題轉化為方程在實數集上有解的條件，若自變量的取值范圍是某個特定區間，則應轉化為在此區間上有解的條件，此時△≥0僅為必要條件，而不是充分條件，但在解題中，有時因對它的適用范圍不清楚，從而導致錯誤.本文就一些常見錯誤加以分析，旨在更好的掌握判別式求值域的方法.

例1 求函數y=x²-x+1x²+x+1(0≤x≤1)的值域.

錯解：將上式變形為(y-1)x²+(y+1)x+y-1=0 (1)，∵x為實數，∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-1)≥0 (2)，解之得13≤y≤3.

分析：由于將0≤x≤1擴大為全體實數，因此的y范圍也可能擴大.

正確解法：除去(2)之外，對(1)，由韋達定理，二根α，β滿足α?β=y-1y-1=1,∵α,β互為倒數，設其中一根滿足0≤α≤1,∴α+β=y+11-y≥2，解之得13≤y<1.注意對于(1)，當y=1時，x=0顯然滿足要求，綜合上述可知13≤y≤1.

例2 求y=玸in玿+玞os玿玸in玿玞os玿,x∈(5π12,π2)的值域.

錯解：令t=玸in玿+玞os玿,由玸in玿玞os玿=(玸in玿+玞os玿)2-12=t2-12,因此原函數值域即為y=2tt2-1的值域.

將上式變形為yt2-2t-y=0,∵t≠0，故y≠0，方程可化為t2-2yt-1=0.此時△=(2y)2+4>0,∴y∈R且y≠0.

分析：忽視了x∈(5π12,π2)的條件限制，從而忽視了t的取值范圍，此時運用判別式法，導致錯誤.

正確解法：令t=玸in玿+玞os玿=2玸in(x+π4),∵5π12

∵t≠0，故y≠0，方程可化為t2-2yt-1=0,設t1,t2為方程的兩根，則t1t2=-1<0,(t1,t2異號)，故方程在(1，62)上最多僅有一根，令f(t)=t2-2yt-1,由二次函數圖像知方程在(1，62)上有一解的充要條件是：f(1)<0,

f(62)>0,即-2y<0,

12-6y>0,解之得y>26，即為所求函數的值域.

通過以上兩例常見錯誤的剖析可知，在運用判別式法求函數值域時，要注意是否有擴大值域范圍的情況，并掌握如何檢查出擴大的部分，或者選用其它方法求解.