也談利用柯西不等式及其推論證明不等式

陳唐明

文［1］在分析文［2］解題過程后，從柯西不等式出發，推導出兩個推論(推論1和推論2)，并通過舉例試圖說明利用這兩個推論可方便迅速地解決很多不等式證明問題.筆者仔細研讀后，發現文［1］中給出的方法比文［2］的方法方便得多；但同時也發現文［1］對柯西不等式表達不夠嚴謹，給出的兩個推論過于特殊化(受條件∑ni=1ai=1的限制)，制約了解題效益的提高.筆者發現通過配湊直接使用柯西不等式或利用柯西不等式的變式將會使文［1］中所舉兩個例題的證明變得更加簡潔明晰.

下面讓我們先回顧一下柯西不等式：

(∑ni=1x²i)(∑ni=1y2i)≥(∑ni=1xiyi)2，其中xi,yi∈R,i=1,2,…，n(1)，當且僅當x1=x2=…=xn=0或yi=kxi(k為常數，i=1,2,…，n)時等號成立.

文［1］中此處遺漏了x1=x2=…=xn=0，是不夠嚴謹的，因為當y1,y2,…,yn不全為零且x1=x2=…=xn=0時等號亦成立.(筆者查閱了大量的報刊雜志和數學競賽輔導書籍，幾乎全是這樣的寫法，可見此謬流傳久矣!)

例1(文［1］中例2)已知正數a,b,c滿足a+b+c=1.求證：a3+b3+c3≥a2+b2+c23.

分析：條件a+b+c=1正好適合文［1］中推論1的條件∑ni=1ai=1，故文［1］采用推論1證明，筆者下面給出通過配湊直接運用柯西不等式證明，亦顯簡潔明晰.

證明：由條件，左邊=(a+b+c)(a3+b3+c3)=［(a)2+(b)2+(c)2］?［(a3)2+(b3)2+(c3)2］(*)≥(a?a3+b?b3+c?c3)2，即左邊≥(a2+b2+c2)2.

下面只需證明(a2+b2+c2)2≥a2+b2+c23，即需證3(a2+b2+c2)≥1.而3(a2+b2+c2)=(12+12+12)(a2+b2+c2)(**)≥(a+b+c)2=1,知原不等式成立.當且僅當aa3=bb3=cc3，即a=b=c時(*)處等號成立；當且僅當1a=1b=1c，即a=b=c時(**)處等號成立.所以，知a=b=c時原不等式等號成立.

在(1)式中令x²i=a2ibi,y2i=bi(ai∈R,bi∈R+)，即得推論：

柯西變式 ∑ni=1a2ibi≥(∑ni=1ai)2∑ni=1bi,當且僅當a1b1=a2b2=…= anbn時等號成立.

例2 (文［1］中例1)求證：a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≥a+b+c，其中a,b,c為△ABC三邊.

分析：文［1］為了能利用推論1的條件∑ni=1ai=1費了不少周折湊出常數“1”，過于繁瑣，而直接運用柯西變式，證明將非常簡潔.

證明：由柯西變式知左邊≥(a+b+c)2(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c，即原不等式成立.當且僅當ab+c-a=bc+a-b=ca+b-c，即a=b=c時等號成立.

注：本題亦可通過配湊直接運用柯西不等式，證明如下：

由［(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)］?(a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c)=［(b+c-a)2+(c+a-b)2+(a+b-c)2］?［(ab+c-a)2+(bc+a-b)2+(ca+b-c)2］≥(a+b+c)2，整理即得.

需要說明的是，柯西變式在解決分式不等式證明問題時非常實用，特別是含n的分式不等式問題，下面舉例說明.

例3 設a1,a2,…，an是正數，且∑ni=1ai=p(p為常數)，試證明：a21a1+a2+a22a2+a3+a2n-1猘n-1+an+a2nan+a1≥p2.

證明：由柯西變式，左邊≥

(a1+a2+…+an)2(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)，

即左邊≥p22p=p2.

例4 設ai,bi∈R(i=1,2,…，n)，且∑ni=1ai=∑ni=1bi，求證：∑ni=1a2iai+bi≥12∑ni=1ai.

證明：由柯西變式，左邊≥(∑ni=1ai)2∑ni=1(ai+bi)=(∑ni=1ai)2∑ni=1ai+∑ni=1bi=(∑ni=1ai)2∑ni=1ai+∑ni=1ai=12∑ni=1ai，即原不等式成立.

參考文獻

［1］徐國平.柯西不等式的兩個推論及其應用.中學數學研究(江西師大)，2006(8).

［2］王勝林，衛賽平.證明不等式的幾種特殊方法.數學通訊，2004(11).