摭談“替代概念”在高中數學教學中的“角色扮演”

倪　進

概念是反映客觀事物特有屬性的思維形式，是思維的最基本的單位.而數學概念是構建數學理論大廈的基石，是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎，是數學學科系統的精髓和靈魂，也是對數學研究對象的高度抽象和概括，它反映了數學對象的本質屬性.筆者通過研究發現，學生在形成正確概念的過程中，可能會形成一種中間概念，即“替代概念”，下文將就此進行相關闡述.

1 “替代概念”的界定及合理性

文［1］指出，學生在學習數學概念的過程中，他們所具有的概念，無論這是一種在學習前就已形成的“質樸概念”(native conception)，或是在各種情景、包括在學習過程中發展起來的“非標準概念”(noncanonical conception)，都是建構活動的產物，從而都有一定的合理性，特別是，這些概念很可能是由于不同的認識方式所造成的，從而就不應簡單看做純粹的“錯誤概念”，勿寧說，這構成了與科學家的概念(這即是所謂的“標準概念”)相“平行”的另一類“替代概念”(alternative conceptions).

具體而言，如果學生在新的學習活動中未能很好地利用自身已有的知識和經驗，特別是，如果教師也未能幫助學生較好地去實現對概念的形式定義與其原先具有的直觀形象和經驗的必要整合，那么形式定義的學習在最初往往就只是學生原有的心理表征中加入了一個新的成分，從而形成標準概念的替代物——替代概念.并且有時學生已有的質樸概念與相應的形式定義構成了直接的矛盾，而學生自身對此卻沒有自覺的認識，“頑固不化”之后會導致形成“規律性錯誤”.按照認知心理學的研究，這里所說的“規律性錯誤”事實上具有一定的合理性，甚至更應該被看成認識發展過程中必不可缺的一個重要環節，顯然不能加以全盤否定.“替代概念”的形成過程及發展方向如下圖所示.

2 “替代概念”的呈現及轉化

在高中數學中，概念教學的重要性不言而喻.但正如上文所述，高中生在學習數學概念的過程中往往會產生相對應的“替代概念”，從而產生規律性錯誤，導致學習障礙，影響了數學知識的掌握及數學能力的提高.所以在概念教學中，應重視各種“替代概念”的產生過程與根源，并且制定正確的轉化策略，從而順利地建構概念.

2.1 重視知識的前后聯系，理順“替代概念”的產生脈絡

教育科學研究表明，學生在學習某一數學知識之前，頭腦里并非一片空白，尤其是高中學生，他們通過初中數學學科的學習，對部分數學知識的理解和解釋，往往有一套自己的觀點和想法.這些觀點和想法許多時候與正確的概念、科學的思維并無沖突，但有時候與科學的概念或思維方式相去甚遠，甚至大相徑庭，這就為“替代概念”的滋生提供了溫床.所以在課堂教學中，應設法讓學生重視知識的前后聯系，理清產生脈絡.

例如，初中學生在進入高中學習之前，已經學過了函數概念.但初中時的函數概念是建立在連續變量的基礎上的，還停留在十八世紀人們的認識程度上.函數這一概念體現了數學高度抽象化、邏輯化、形式化的特點，學生由初中的函數概念要轉換成高中由映射角度出發的函數概念有著相當的困難.在此過程中，有的學生會產生函數概念的“替代概念”，即：

設在一個變化過程有兩個變量x,y，如果對于x的每一值，y都有唯一的值和它對應，那么就說y是x的函數.函數有且只有一個統一的表達式.

這樣一來，在高中函數的概念教學中，學生始終不能理解常數函數和分段函數為何也可以作為函數的成員.因此在實際教學中，筆者利用數學史上有關函數概念的大討論以及函數概念的幾次發展，并結合高中函數概念的教學，讓學生去爭鳴、去探究，及時加以總結，同時指明學生所具有的函數的“替代概念”的合理性和滯后性，這樣可使初高中函數知識渾然一體，又可促使學生所對應的“替代概念”向高中函數概念轉化.

2.2 重視“替代概念”多樣性，正確解剖“病灶”

由于學生主體之間認知結構的多樣性，其已有圖式以及信息加工的方式也各具特點，因此其概念學習均呈現出豐富多彩的特色，策略演變與選取也具有多種可能的方向，所產生的“替代概念”亦可能各不相同.

例如，在高中數學新教材必修3《概率》的新課教學時，筆者針對有的學生對概念理解膚淺，對數學概念的形式、概念的內涵和外延不甚了解或一知半解，造成對概念的“假性理解”，產生概念的理解“偏差”.出現了以下幾種“替代概念”：

(1)概率值是所有頻率的平均值；

(2)概率值是實驗次數足夠大時的所有頻率的平均值；

(3)概率值是實驗次數足夠大時頻率的近似值；

(4)概率值是當次數n→+∞時，頻率mn趨近的常數.

在實際數學教學中，筆者利用書上的例題，讓學生與教師組成學習共同體，經過激烈地討論與協作，針對以上的“替代概念”，抓住其“病灶”所在，分析其產生根源，使學生達成對概率概念的共識.

2.3 重視數學語言的嚴謹性，解剖“替代概念”的言語邏輯

學生在學習數學概念或教師在概念教學時，常利用學生自身已有的生活知識與經驗，即利用已有的樸素概念去說明或描述正在學習的數學概念.于是在此基礎上就產生了用“生活語言”去描述“替代概念”，這給科學的數學概念教學帶來不可忽視的、也可能是消極的影響.

例如，為了幫助學生較好地掌握極限的概念，我們無疑應充分利用學生已有的知識和經驗，特別是，在對極限的概念進行描述時，我們不可避免地會用到“趨近”、“接近于”等日常用語——事實上，甚至連“極限”這一術語本身也是從自然語言中直接借用的——而這對于調動學生從日常生活中積累起來的相關經驗顯然是十分有益的.但正如心理學家維納所指出的，日常意義在數學中的這種“滲透”也可能造成一些消極的后果，比如就其日常意義而言，“極限”這一概念往往包含“不可超越”的涵義(就如“速度的極限”等).類似的，當我 們用“趨近”、“接近于”等概念來對數列的極限進行說明時，也很容易造成這樣的印象：作為一個過程，數列的項永遠不可能與其極限相等.這就產生了如下極限概念的“替代概念”：極限值是一個無限接近的常數，且數列的所有各項均不可達到這個常數.

另外，由于學生關于數列的經驗主要局限于這樣的實例，即其各項是由一個通項公式統一給出的，特別是，這又往往是所謂的單調數列，從而，在新的學習過程中出現以下的情況就不足為奇了，即學生認為以下的數列并非是一個而是兩個數列：1，0，12，0，13，0，….而諸多單調數列的實例無疑又進一步加強了關于“數列的項永遠不可能與其極限相等”這一不正確的概念.

在極限概念的教學中可適量增加形象的比喻以及實例的教學，減少對概念形式的“糾纏”，即注重實質，適度形式化.從而使學生在認知沖

突中完成頭腦中所對應的“替代概念”向正確的概念或思想方法轉化.

2.4 正視思維定勢，解除“替代概念”

有的學生不能透徹理解數學公式和法則，浮于表面，以偏概全，以自己不正確、不完善的“經驗”推而廣之，從而形成解題“危機”.下題中學生對“和的極限等于極限的和”的結論十分熟悉，受其影響，產生了以下錯誤解法.這本質上是受了思維定勢的消極影響，從而產生錯誤的“替代概念”.例題及具體分析如下.

題目 若玪im猲→∞(3an+4bn)=8,玪im猲→∞(6an-bn)=1,求玪im猲→∞(3an+bn)的值.

錯解:由玪im猲→∞(3an+4bn)=8,

玪im猲→∞(6an-bn)=1,得=3玪im猲→∞an+4玪im猲→∞bn=8 (1)

6玪im猲→∞an-玪im猲→∞bn=1 (2)(1)×2-(2)得：玪im猲→∞bn=159,并求得：玪im猲→∞an=49,∴玪im猲→∞(3an+bn)=3玪im猲→∞an+玪im猲→∞bn=129+159=3.

此解法錯誤的原因是解題者有下列的“替代概念”：乘法分配律對極限的加減運算也成立的.而沒有對玪im猲→∞an與玪im猲→∞bn的存在加以說明.雖然答案是正確的(由于玪im猲→∞an與玪im猲→∞bn的確是存在的)，但是卻不能掩蓋正確結論下的錯誤.

由上所述，“替代概念”在高中數學中是普遍存在的.由于“替代概念”具有“相對穩定性”(頑固性)，更由于其對概念形式定義的學習往往建立在被動的接受與機械的記憶之上，所以如果缺乏必要的引導，那么隨著時間的推移，所說的整合(應當指出，這種整合往往是在不自覺的情況下進行的，即主體對此往往并不具有清醒的自我認識)就很可能在錯誤的方向上得以進行.［1］這就是說，最終所出現的就很可能是錯誤概念對于形式定義的排斥或改造，從而導致概念的表征和轉譯失敗.所以對“替代概念”的轉化值得我們去重視和研究.

參考文獻

［1］鄭毓信、梁貫成編著.認知科學、建構主義與數學教育［M］.上海：上海教育出版社，2002.