兩個不等式猜想的證明

孫艷梅　劉才華

猜想1 在斜△ABC中，有1玹an獳+4玹an獴+玹an獵≥3.

這是宋慶老師在文［1］末提出的猜想.此猜想不成立，構造反例如下：在△ABC中，A=B=π6,C=2π3，有1玹an獳+4玹an獴+玹an獵=3-23=-3<0.

筆者通過進一步研究，得到如下：

命題 在斜△ABC中，(1)若03；(2)若B=π3或C=π3，則1玹an獳+4玹an獴+玹an獵=π3；(3)若0

證明：(1)由0

玸in獴+π3-A-C2<012［玞os(B-C)-玞os(A-π3)］>02玞os(B-C)-玞os獳-3玸in獳>02玞os(B-C)+玞os(B+C)-3?玸in獳>03玞os獴玞os獵+玸in獴玸in獵>3玸in獳蒔玸in獴玸in獵+3玞os獴玞os獵玸in獳>3

蒔玸in獴玸in獵+3玞os獴玞os獵玸in獴玞os獵+玞os獴玸in獵>3蒔玹an獴玹an獵+3玹an獴+玹an獵>3蒔玹an獴玹an獵-1玹an獴+玹an獵+4玹an獴+玹an獵>31玹an獳+4玹an獴+玹an獵>3.

(2)若B=π3，則A+C=2π3，1玹an獳+4玹an獴+玹an獵=1玹an(2π3-C)+33+玹an獵=3玹an獵-13+玹an獵+43+玹an獵=3+3玹an獵3+玹an獵=3.同理C=π3時，也有1玹an獳+4玹an獴+玹an獵=3.

(3)由條件得玸in(π3-C)玸in(B-π3)>0，仿(1)的證明可得1玹an獳+4玹an獴+玹an獵<3.

猜想2 若xi>0,i=1,2,…，n,且∑ni=1xi=1，則∑ni=111+xn-1猧≤nnnn-1+1 (1).

這是田彥武老師在文［2］中提出的猜想，此猜想成立，下面給出

證明：先證明：對于任意02