由０８年高考安徽卷中的一道題引起的探究

王　峰

2008年高考安徽卷中有這樣的一道選擇題：設(shè)(1+x)8=a0+a1x+…+a8x8，則a0,a1,…,a8中奇數(shù)的個數(shù)為 .

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.

由于a0,a1,…,a8都是二項式系數(shù)，故考生大都是將它們翻譯成數(shù)學式子后通過計算而獲解的，當然若利用組合數(shù)性質(zhì)Cmn=Cn-m猲(m、n∈N+，且m≤n)去處理，則會更快一些.筆者認為本題難度不大，但是它容易使我們產(chǎn)生疑問：二項式展開式的二項式系數(shù)的奇偶個數(shù)有沒有規(guī)律性?若有其規(guī)律是什么 ?帶著這兩個問題，筆者作了一番探究，發(fā)現(xiàn)有如下幾個正確的結(jié)論：

結(jié)論1 若n=2k-1(k∈N+)，則(a+b)n展開式的二項式系數(shù)皆為奇數(shù)，即Cr2k-1(0≤r≤2r-1)為奇數(shù).

下面用數(shù)學歸納法證明此結(jié)論：

(1)當r=0時，結(jié)論顯然成立.

(2)假設(shè)當r=t(0≤t<2k-1)時，結(jié)論成立，即Ct2k-1為奇數(shù)，則當r=t+1時，Ct+12k-1=(2k-1)!(t+1)!(2k-t-2)!=2k-t-1t+1?

(2k-1)!t!(2k-t-1)!=(2kt+1-1)Ct2k-1.

因為組合數(shù)Ct+12k-1、Ct2k-1為整數(shù)，所以2kt+1-1必為整數(shù)，又2k為偶數(shù)，則t+1必為偶數(shù)，故可設(shè)t+1=2u?k0(k0為奇數(shù))，所以Ct+12k-1=(2k2u?k0-1)，Ct+12k-1=(2k-uk0-1)Ct2k-1.由2k-u為偶數(shù)，2k-u猭0為整數(shù)以及k0為奇數(shù)，故知2k-u猭0必含因數(shù)2，即2k-u猭0必為偶數(shù)，從而知2k-u猭0-1為奇數(shù)，又由歸納假設(shè)Ct2k-1為奇數(shù)，所以Ct+12k-1為奇數(shù)，即當r=t+1時，結(jié)論成立.綜合(1)(2)知，Cr2k-1(0≤r≤2r-1)為奇數(shù)成立.

結(jié)論2 若n=2k(k∈N+)，則(a+b)n展開式的二項式系數(shù)中除了C0n和Cnn兩個數(shù)外，其余各數(shù)皆為偶數(shù)，即Ct2k(1≤r≤2k-1)為偶數(shù).

由結(jié)論1知Cr2k-1及Cr-12k-1均為奇數(shù)，所以Cr2k=Cr2k-1+Cr-12k-1為偶數(shù).

注：當k=3時，即為08年安徽高考題，由結(jié)論2易知選A.

結(jié)論3 若n=2k-2(k≥2,k∈N)，則(a+b)n展開式的二項式系數(shù)的奇偶數(shù)相互交錯出現(xiàn)，易知奇數(shù)個數(shù)為2k-1，偶數(shù)個數(shù)為2k-1-1.

因為Cr2k-1=Cr2k-2+Cr-12k-2，又由上述結(jié)論2知Cr2k-1為奇數(shù)，所以Cr2k-2和Cr-12k-2中一奇一偶，從而說明(a+b)2k-2展開式的二項式系數(shù)的奇偶數(shù)是交錯出現(xiàn)的.

結(jié)論4 若n=2k-3(k≥3,k∈N)，則(a+b)n展開式的二項式系數(shù)按奇、奇與偶、偶的規(guī)律交錯出現(xiàn)，其中奇數(shù)個數(shù)為2k-1，偶數(shù)個數(shù)為2k-1-2.

因Cr2k-1=Cr2k-2+Cr-12k-2=(Cr2k-3+Cr-12k-3)+(Cr-12k-3+Cr-22k-3)=Cr2k-3+2Cr-12k-3+Cr-22k-3，及由結(jié)論2知Cr2k-1為奇數(shù)，故Cr2k-3和Cr-22k-3必為一奇一偶，又C02k-3，C12k-3都為奇數(shù)，因此知結(jié)論4成立.

值得注意的是07年高考湖南卷理第15題同本文開頭提供的真是如出一轍，若利用上述結(jié)論，此道考題就變得如此簡單，讀者不妨一試.