田字格路徑題的研究性教學(xué)實驗

鄭燕紅

數(shù)學(xué)的研究性教學(xué)要求注重培養(yǎng)學(xué)生以嚴謹?shù)膽B(tài)度和科學(xué)的研究方式認真觀察、分析、歸納和解決問題，不僅如此，更要學(xué)會思考，進一步提出問題、探索解決問題的方案，從而達到獲得知識、學(xué)會學(xué)習(xí)、啟迪智慧的目的.本文以田字格路徑問題為實例，探究中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究性教學(xué)的實踐方法.

1.誘導(dǎo)問題的提出

某城市道路以東西向、南北向即田字格狀構(gòu)建，若從一街口開始朝正北和正東方向行走并到達另一街口，問最短途徑的不同走法有多少種?

2.新穎的表述形式

本題以文字說明的情景語言而非數(shù)學(xué)語言呈現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生受到將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的方法啟示.培養(yǎng)學(xué)生從現(xiàn)實背景中“看”數(shù)學(xué)，從實際生活中提煉數(shù)學(xué)問題，逐步形成將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化并運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.

3.解題的推演策略

問題的提出和解決既不新穎也不十分困難，然而思維模式涉及了數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能和概念圖形的識別等能力，問題具有較強的探索性和趣味性.

首先，通過啟迪提問：

歸納出三個隱藏的子問題：以邊為單位的距離問題；距離的最小值問題；路徑排列組合問題.后者是問題的關(guān)鍵.

腳下的路千萬條，需要的只是符合問題要求的正確路線.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也一樣，學(xué)生應(yīng)在科學(xué)指導(dǎo)和激勵下，通過尋找符合要求條件的學(xué)習(xí)活動，學(xué)會分析、歸納和提出問題，從而最終解 決問題，使思想走上數(shù)學(xué)思維方法的坦途.

第二步，圖形分析：

通過簡單舉例，學(xué)生演板，從圖形著手，分

析到各交叉點可能的行走方法種數(shù)，并標記數(shù)據(jù).設(shè)從點A(0，0)走至點B(4，2)，Ax為正東方向，Ay為正北方向(如圖).

這一過程讓學(xué)生既復(fù)習(xí)了圖形知識也復(fù)習(xí)了地理知識，通過教學(xué)互動極大地活躍了課堂氣氛，調(diào)動了學(xué)習(xí)的能動性.

第三步，數(shù)據(jù)概括：

從圖分析，提示學(xué)生找出以下結(jié)果：從A出發(fā)到達任意一個交叉點的走法是其上一步的橫向和縱向交點走法之和，如3=1+2或3=2+1.進而得出，到達B點的走法有：5+10=15(種).

至此，解題結(jié)束，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情調(diào)到了最高點.

第四步，歸納推廣：

老師及時將方格圖添補成正方形，填充相應(yīng)數(shù)據(jù).通過以對角線為對稱軸，學(xué)生從圖中可發(fā)現(xiàn)：相同層面上的行和列數(shù)據(jù)相同.即，行與列上的數(shù)關(guān)于過原點的對角線對稱.

觀察能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，多媒體教學(xué)更能吸引視覺的注意.通過圖示對角線 和彩色字符等技術(shù)處理，對完成本階段教學(xué)具有補充作用.

第五步，類比聯(lián)想：

將行(列)對應(yīng)的數(shù)據(jù)添滿，形成習(xí)慣的視覺對稱圖形，以利于聯(lián)想發(fā)揮.

這樣，一個活脫的“楊輝三角形”展現(xiàn)在眼前，學(xué)生會由特殊想到一般，由有限歸納猜想到無窮.這種曲徑通幽、豁然開朗的感覺對學(xué)生來說簡直是美極了.

顯然求任意B點的走法只須按組合數(shù)計算，不難證明，到點B的走法B(x,y)=Cxx+y=Cyx+y.比如，B(4,2)=C26=15.

到此，解題活動的教學(xué)目的明朗.這不是僅僅一個問題的求解，而是一個科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的淋漓盡致的演繹和酣暢的體驗.使學(xué)生數(shù)學(xué)心靈受到一次震撼，學(xué)習(xí)思維得到一次升華，創(chuàng)造靈感得到一次催發(fā).

第六步，拓展引伸：

習(xí)題：某城鎮(zhèn)有南北向街道6條，東西向街道6條，鎮(zhèn)內(nèi)有一池塘，環(huán)池塘大道成菱形(如圖).郵遞員從該鎮(zhèn)的東西角的郵局A出發(fā)送信到東南角的B地，問最短路程的不同走法最多有多少種?

解答：第一步，分析：標記點C、D、E.根據(jù)直角三角形兩直角邊的和大于第三邊原理，有CD

第二步，結(jié)論：A至B的最短路程必經(jīng)點C或D，然后走三角形斜邊到達B；

第三步，計算：最短路程的不同走法：C25C13+C15=35(種).

要求有能力的學(xué)生當場完成解題任務(wù)，有困難的學(xué)生可課后完成，達到鞏固知識、拓展思維、激發(fā)興趣的目的，又能及時檢驗和評價教學(xué)效果.

4.思考

問題和求解是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的主線，因此，具有層次性、實際性、開放性、廣延性的問題的設(shè)立以及解題拓展的精彩安排是研究性教學(xué)要求的真正內(nèi)核和追求目標.本探索自始至終貫穿著一個個探究的懸念和美好的意境，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情、主動地攀登頓悟巔峰.

研究性教學(xué)，是在教學(xué)過程中，老師指導(dǎo)和啟迪學(xué)生以類似于科學(xué)研究的方法獲取和應(yīng)用知識的教學(xué)方式.這種先進的教學(xué)理念，強調(diào)在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生主體的地位，強調(diào)學(xué)生主體的主觀能動性，強調(diào)教學(xué)目的是培養(yǎng)能力和激發(fā)潛能，目標是試圖通過類似研究的手段達到教學(xué)的更高境界，而并不是研究.因此，一味的煽聳學(xué)生“自學(xué)自推”，不做科學(xué)的傳授、指導(dǎo)和引領(lǐng)，不僅教學(xué)事倍功半，也是對教學(xué)不負責任的表現(xiàn).

中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的是傳授知識和發(fā)掘智慧潛能，舍此無它.因此，研究型教學(xué)更應(yīng)當不斷追求教學(xué)的藝術(shù)，激活我們的課堂教學(xué)，變“灌”為“導(dǎo)”、變“教”為“誘”、變“學(xué)”為“思”.注重培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會質(zhì)疑、學(xué)會反思、學(xué)會變通角度思考、學(xué)會理性思維，發(fā)揮主動性、富有思辨性、展現(xiàn)創(chuàng)造性.

參考文獻

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［2］顧鑫盈.從一個案例看《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)》，數(shù)學(xué)通報2004，1.