摭談近兩年高考中的四次函數

劉瑞美

隨著新課程標準的不斷推行，導數的工具性越來越受到人們的青睞.由于以導數為背景的高考試題，背景比較新穎，能有效的考查學生的思維能力和繼續學習數學的潛能，因而成為近年來高考命題的“寵兒”，相信在不遠的將來必定成為高考命題的新亮點.縱觀07、08兩年高考，以四次函數為背景的試題，精彩紛呈，且呈上升趨勢，重點考查了函數的單調性、極值、在閉區間上的最值以及對參數的范圍和恒成立問題的探究等.由于四次函數的導數是三次函數，所以它更能考查學生應用數學知識解決問題的潛能，相信四次函數將成為今后高考命題的新熱點.下面就近兩年高考中對四次函數應用問題的考查進行簡單探究.

1.單調性——四次函數考查的永久主題

例1 (07重慶卷理20題)已知函數f(x)=ax4玪n玿+bx4-c(x>0)在x=1處取得極值-3-c，其中a,b,c為常數.

(1)試確定a,b的值；

(2)討論函數f(x)的單調區間；

(3)若對任意x>0，不等式f(x)≥-2c2恒成立，求c的取值范圍.

分析：本題是關于四次函數的導數應用題，由函數在某點處導數與極值的關系，可確定a,b的值；從而進一步利用導數求出函數的單調區間，對第(3)問，要求c的取值范圍，只要函數f(x)的最小值大于-2c2即可.

解：(1)由題意知f(1)=-3-c，因此b-c=-3-c，從而b=-3.又對f(x)求導得：f′(x)=4ax3玪n玿+ax4?1x+4bx3=x3(4a玪n玿+a+4b).由題意f′(1)=0，因此a+4b=0，解得a=12.

(2)由(1)知f′(x)=48x3玪n玿(x>0)，令f′(x)=0，解得x=1,當01時，f′(x)>0，此時f(x)為增函數.

因此f(x)的單調遞減區間為(0，1)，單調遞增區間為(1，+∞).

(3)由(2)知，f(x)在x=1處取得極小值f(1)=-3-c，此極小值也是最小值，故要使f(x)≥ -2c2(x>0)恒成立，只需-3-c≥-2c2.即2c2-c-3≥0，從而(2c-3)(c+1)≥0，解得c≥32或c≤-1.所以c的取值范圍為(-∞，-1］∪［32,+∞).

點評：本題以四次函數為背景，以四次函數的單調性為載體，巧妙地將函數的極值和最值、導數的應用等融合在一起，重點考查了數學的應用、推理和運算能力.

2.極值與最值——四次函數考查的重點和亮點

例2 (2008年高考天津文21題)設函數f(x)=x4+ax3+2x²+b(x∈R),其中a,b∈R.

(1)當a=-103時，討論函數f(x)的單調性；

(2)若函數f(x)僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；

(3)若對于任意的a∈［-2，2］，不等式f(x)≤1在［-1，1］上恒成立，求b的取值范圍 .

分析：本題是求四次函數的單調性及參數的取值范圍問題，首先利用導函數求出函數單調區間；由于四次函數可能有三個極值點，進而當函數f(x)僅在x=0處有極值時，求出a的取值范圍；第(3)問為要使不等式f(x)≤1在［-1，1］上恒成立，只要函數f( x)在［-1，1］上的最大值不超過1就可以了.

解(1)：f′(x)=4x3+3ax²+4x=x(4x²+3ax+4).當a=-103時，f′(x)=x(4x²-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).令f′(x)=0，解得x1=0,x2=12,x3=2.

當x變化時，f′(x),f(x)的變化情況如下表：

x(-∞,0)0(0,12)12(12,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-0+f(x)緙小值杓大值緙小值杷以f(x)在(0，12)，(2，+∞)內是增函數，在(-∞,0),(12,2)內是減函數.

(2)f′(x)=x(4x²+3ax+4)，顯然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根.為使f(x)僅在x=0處有極值，必須4x²+3ax+4≥0恒成立，即有△=9a2-64≤0.解此不等式，得-83≤a≤83，這時，f(0)=b是唯一極值.因此滿足條件的a的取值范圍是［-83,83］.

(3)由條件a∈［-2，2］可知△=9a2-64<0，從而4x²+3ax+4>0恒成立.當x<0時，f′(x)<0；當x>0時，f′(x)>0.因此函數f(x)在［-1，1］上的最大值是f(1)與f(-1)兩者中的較大者.為使對任意的a∈［-2，2］，不等式f(x)≤1在［-1，1］上恒成立，當且僅當f(1)≤1,

f(-1)≤1,即b≤-2-a,

b≤-2+a,在a∈［-2，2］上恒成立.所以b≤-4，因此滿足條件的b的取值范圍是(-∞，-4］.

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、函數的最大值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力.

3.參數的范圍——四次函數考查的難點

例3(2008年江西文21題)已知函數f(x)=14x4+13ax3-a2x²+a4(a>0).(1)求函數y=f(x)的單調區間；(2)若函數y=f(x)的圖像與直線y=1恰有兩個交點，求a的取值范圍.

分析：本題第(1)問利用導數很容易求出函數的單調區間；第(2)問求參數a的取值范圍，使函數y=f(x)的圖像與直線y=1恰有兩個交點，可先畫出函數圖像的大致形狀，利用數形結合求出參數的范圍.

解：(1)因為f′(x)=x3+ax²-2a2x=x(x+2a)(x-a).令f′(x)=0得x1=-2a,x2=0,x3=a.

由a>0時，f′(x)在f′(x)=0根的左右的符號如下表所示

x(-∞,-2a)-2a[JP3](-2a,0)[JP] 0(0,a)a(a,+∞)f′(x)-0+0-0+f(x)緙小值杓大值緙小值杷以f(x)的遞增區間為(-2a,0)(a,+∞)； f(x)的遞減區間為(-∞,-2a)與(0,a).

(2)由(1)得到f(x)極小值=f(-2a)=-53a4,猣(x)極小值=f(a)=712a4;f(x)極大值=f(0)=a4，要使f(x)的圖像與直線y=1恰有兩個交點，只要-53a4<1<712a4或a4<1，即a>4127或0≤a<1.

點評：利用導數求函數的單調區間是導數應用的重要內容之一.求參數的范圍是導數考查另一個重要內容，它將數與形有機的結合在一起，考查了導數的應用及不等式應用等基礎知識，以及綜合運用數學知識解決問題的能力，試題的綜合性強，對學生的能力要求較高.

總之，以四次函數為載體，以導數為工具，以考查函數性質、導數極值理論、函數的單調性、不等式的應用為目標，是近兩年高考導數與函數交匯試題的顯著特點和以后的命題趨勢，值得我們去認真研究.

參考文獻

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