讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會研究

管志炎　謝全苗

研究性學(xué)習(xí)不但是中小學(xué)課程改革的一個十分重要的話題，而且也是培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)、提高創(chuàng)新能力的一條行之有效的途徑，更是提高(通常意義下的)教學(xué)質(zhì)量的一個亮點.然而入門難，難在課堂教學(xué)中到底如何具體實施和把握?這就是擺在我們面前的一個亟待去思考、探索、實踐的課題.

其實，研究性學(xué)習(xí)從本質(zhì)上講，就是把教學(xué)的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生在積極、主動的學(xué)習(xí)環(huán)境中，全神貫注、富有興趣地去實踐、理解、應(yīng)用、探索和創(chuàng)新.其意義在于使學(xué)生經(jīng)歷探索過程，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會研究.教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探索性的情境，以激發(fā)學(xué)生探究的欲望，同時還要提供有結(jié)構(gòu)的材料，這些材料是學(xué)生實踐活動的對象，是引起和形成學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的工具和知識的載體.本文以數(shù)學(xué)新教材圓錐曲線(橢圓三定義、六方程)的教學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動為例，談?wù)劰P者的認識和實踐，并就教于同行.

教學(xué)過程

1.精心設(shè)計實驗，創(chuàng)設(shè)創(chuàng)新情境

讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的一張紙板、一段細繩和兩枚圖釘，按課本要求畫橢圓.先用多媒體演示畫法，再讓學(xué)生自己動手，使學(xué)生嘗到發(fā)現(xiàn)的喜悅.固定繩的長為2a，兩圖釘間的距離為2c，通過改變圖釘間的距離，學(xué)生實踐得出結(jié)論：當(dāng)c=0時是圓；當(dāng)2a≥2c時是橢圓；當(dāng)c→a時橢圓越來越扁平；當(dāng)2a=2c時是一線段；2a<2c時，軌跡不存在.通過作圖實驗學(xué)生不難自己歸納出橢圓的定義.

在學(xué)生對橢圓概念有一個比較清晰認識的基礎(chǔ)上，進一步引導(dǎo)學(xué)生研究橢圓的軌跡方程.

2.還給學(xué)生思考空間，指導(dǎo)學(xué)生探索研究

T(教師，下同)：下面分小組進行討論研究，看哪一組先能推導(dǎo)出橢圓的軌跡方程，組際之間可以交流和互助，也可邀請老師一起討論、研究，最好不(但也可以)參考、借助課本的推導(dǎo)，看那一組能(希望有)有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)新.到下節(jié)課請各組推薦出代表講講你們的研究和發(fā)現(xiàn)，即由代表提交并宣讀各自的研究報告(可用實物投影儀將小組的成果進行放映、展示).下面就請各小組開始各自研究討論.

S1(第三小組)：我們參考了課本，具體是(用實物投影儀展示結(jié)果)：

設(shè)M(x,y)是橢圓上任一點，橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c,0)、(c,0).

橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.∵|MF1|=(x+c)2+y2,|MF2|=(x-c)2+y2,得方程

(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a.①

將這個方程移項，兩邊平方，得

a2-cx=a(x-c)2+y2.②

兩邊再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.③ 整理，得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).④

由橢圓定義可知，2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0.設(shè)a2-c2=b2(b>0)，整理，得

x2a2+y2b2=1(a>b>0).⑤

T：S1參考了課本并獲得了上述結(jié)果，是值得肯定的.現(xiàn)在我們來具體分析上述過程中每個環(huán)節(jié)(運算)的作用與意義：

(1)首先受數(shù)學(xué)美的驅(qū)使，使建立的坐標(biāo)系、所設(shè)的點坐標(biāo)都對稱和諧；(2)在推導(dǎo)中首先得到的①式事實上已是橢圓方程，但由于它不符合數(shù)學(xué)簡潔美的特性，因此需要簡化：因左邊是兩個根號之和，于是就可移項平方得到②式，整理后還有一個根號，于是再平方，進一步簡化得到④式；④式雖比①式簡單，但還是沒有達到數(shù)學(xué)美的最高境界，故用變量代換(補美思想)：設(shè)a2-c2=b2(b>0)得到⑤式(通過教師的講解，讓學(xué)生進一步明確了每一步運算的意義、作用和所以要這樣做的原因)，我們稱⑤式為：

S：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

T：對!我們又為何要稱⑤式為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?

S：(學(xué)生答出簡潔美、對稱美等許多優(yōu)點，略)

T：講得好!那么⑤式與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較，又有什么不足呢?

S：(學(xué)生比較看出)：⑤式無法揭示出橢圓上一點到兩定點的距離之和等于2a這一本質(zhì)屬性.

T：對!那么，在上述推導(dǎo)過程中，你看哪一步有這一特征呢?

S：(學(xué)生很快得出)：相比之下，①式正好有這一優(yōu)點.

T：(教師趁勢追問)：講得好!現(xiàn)在大家再看從①式到⑤式的推導(dǎo)過程中又是在哪里失去了這一優(yōu)點?至此學(xué)生便興味盎然地開始重新審視原推導(dǎo)過程，課堂氣氛也活躍起來，他們注意到：如果沒有對①式的移項、兩邊平方，就不能化簡、整理得到⑤式；而到了②式，由于再次平方，雖化簡得到⑤式，但卻失去了這一優(yōu)點.這樣，大家便不約而同地把注意力集中到了②式.

這時，老師作為一個參與者與學(xué)生一起討論，并“恰當(dāng)好處”地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生.

T(教師若有所思地發(fā)聲自問)：那到了②式，要是不再平方，而用其他辦法變形又會如何呢?這個辦法又是什么呢?請哪一組來講講?

S2(第二小組)：兩邊同除以a即可.

T：對!(并順手寫出)：a-cax=(x-c)2+y2.⑥

T：⑥式的右邊有什么特征嗎?

S2：⑥式的右邊有明顯的幾何意義，即動點M(x,y)到焦點F2(c,0)的距離.

T：那么⑥式的左邊也有明顯的幾何意義嗎?

S2：沒有.

T：為什么?

S2：在x前面有系數(shù)ca.

T：如何處理，才能使它也有明顯的幾何意義呢?

S2：把系數(shù)ca提出，并(考慮到距離)加絕對值.

T：對!提出系數(shù)ca，得ca(a2c-x)=(x-c)2+y2 ⑦，并整理為(x-c)2+y2|a2c-x|=ca.⑧

這是一個全新而又具有明顯幾何意義的關(guān)系式，也是一個不同于課本推導(dǎo)的新方法、新發(fā)現(xiàn)(為讓學(xué)生體驗發(fā)現(xiàn)和成功的喜悅，于是又自問)：

T：⑧式又有怎樣的幾何意義呢?

S：(學(xué)生們興高采烈，能基本完整地講出)：這是橢圓上的一個動點M(x,y)到焦點F(c,0)和定直線l:x=a2c的距離之比等于常數(shù)ca(a>c>0).

到了這里學(xué)生興奮極了，他們既感到滿足，又感到總欠完善，而又有點不達意之感，于是老師又問：那么，滿足⑧式的軌跡是橢圓嗎?

這時整個課堂的氣氛可活躍了，學(xué)生有的說是，有的說不是，也有的說不一定是，即使是也要證明.教師對后一種同學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式、習(xí)慣和前一種憑直觀得到結(jié)果的方法都從不同角度給以肯定，并帶著問題與學(xué)生一起去探索.這時再一起去看例子，并引入橢圓的第二定義，可謂是水到渠成，順?biāo)浦哿耍@正是教材例子所要達到的教學(xué)目的.我們認為，這樣處理教材、設(shè)計教學(xué)，既加深了學(xué)生對曲線方程的純粹性和完備 性的理解，彌補了教材的不足，又兼顧了例子的目的要求，還讓學(xué)生手腦并用，使學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)，體驗了成功.

此時，學(xué)生心情愉悅，一種成功感油然而生，并產(chǎn)生船到碼頭車到站——可以停一停了的感覺.這時老師是一個參與者，但更是一個導(dǎo)演，為引人入勝，故又趁熱打鐵，再次引導(dǎo).

T：S2(第二小組)參考了教材的推導(dǎo)但又不拘泥于教材，對原推導(dǎo)過程中由②到③，變成由②到⑦，并由此得到一個全新的⑧，大膽進行了創(chuàng)新，并與大家一起得到橢圓的第二定義——這么一個好定義，這很好!現(xiàn)在我們一起來看看，在這一過程中是否還有什么可以挖掘的呢?誰能說說你的奇思妙想嗎?

S：剛才得到橢圓的第二定義，是否還可以再挖掘、得到橢圓的第三定義呢?

T：這個想法(猜想)很好，有道理!應(yīng)該試試.哪一小組能證實這一猜想?

S3(第一小組)：原推導(dǎo)過程中，到了④式：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，再設(shè)a2-c2=b2(b>0)，整理，得x2a2+y2b2=1(a>b>0)⑤

如果不是設(shè)a2-c2=b2，進行整理，而是兩邊同除以a2-c2，則得到：a2y2a2-c2=a2-x2⑤′，即a2y2x2-a2=c2-a2.

兩邊再同除以a2,得y2x2-a2=e2-1.即

yx-a·yx+a=e2-1(-1

S：這時大家不約而同地說：⑥′式的幾何意義為：一個動點M(x,y)到兩定點(-a,0)、(a,0)的斜率的積等于常數(shù)e2-1(-1

橢圓的第三定義：平面內(nèi)一個動點M(x,y)到兩定點A1(-a,0)、A2(a,0)的

斜率的積等于常數(shù)e2-1(-1

T：很好!大家通過自己的努力，得到了一個嶄新的橢圓的第三定義.真有意思!如果我們用它來解決教材P96第4題(新教材就補充此題)，那將十分簡捷：

△ABC的兩個頂點A、B的坐標(biāo)分別是(-6，0)、(6，0)，邊AC、BC所在直線的斜率乘積等于-16，求頂點C的軌跡方程.

解：依上述定義可知頂點C的軌跡方程是橢圓，且a=6.∵e2-1=-b

2a2=-49,∴b2=16.故所求頂點C的方程為x262+y242=1(y≠0).

為了把這次研究性學(xué)習(xí)引向縱深，讓學(xué)生在嶄新的研究性學(xué)習(xí)中學(xué)到更多的與現(xiàn)實教學(xué)相關(guān)的內(nèi)容，力爭在提高綜合運用能力的同時提高創(chuàng)新能力，以讓學(xué)生在扎扎實實的應(yīng)試教育中，實實在在地提高創(chuàng)新能力.因此，及時地抓住學(xué)生探索、研究的契機，在研究了橢圓的三個定義的基礎(chǔ)上，進一步引導(dǎo)學(xué)生研究、發(fā)現(xiàn)橢圓(雙曲線)方程的六種形式，讓學(xué)生在新的層面上學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會研究.

3.抓住學(xué)生探索、研究的契機，讓學(xué)生在新的層面上學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會研究

T：前面我們一起研究了橢圓的三個定義，通過對原橢圓方程推導(dǎo)過程的控制、探索、研究，發(fā)現(xiàn)了許多寶貴的數(shù)學(xué)成果——橢圓的第二、三定義，使大家經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)，體驗成功，然而，我們發(fā)現(xiàn)在方程的形式上我們未能進行探索.

例如，我們通過⑧：(x-c)2+y2|a2c-x|=ca，研究了橢圓的第二定義，但卻仍延用了原橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，現(xiàn)在，我們是否能在方程的形式上進行研究，使它能像直線方程一樣也具有多樣性，并爭取有新的突破呢?換句話說就是方程中是否能不用原定義中表示長、短軸的參數(shù)a、b來表示，而用新定義(第二定義)中的準(zhǔn)線參數(shù)m與離心率e來表示?

有了這一鋪墊，大家就立即著手進行解決.

S：設(shè)準(zhǔn)線為x=±m(xù)(m>0)，離心率為e，則m=a2c,e=ca,c=e2m,由式⑧得：(x-e2m)2+y2|x-m|=e,

化簡得：(1-e2)x2+y2=e2m+2(1-e2),∵e≠1，兩邊同除以e2(1-e2)，

于是得：

x2e2+y2e2(1-e2)=m2.⑨

T：對!這就是焦點在x軸上的方程，我們稱它為橢圓的第二方程(統(tǒng)一式)，同理可得焦點在y軸上的橢圓的方程：y2e2+x2e2(1-e2)=m2.⑩

這兩個方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一樣對稱、優(yōu)美，便于記憶.凡與離心率、準(zhǔn)線相關(guān)的問題用它來解決十分簡捷.

T：那么第三定義下的方程又怎樣呢?(對此學(xué)生更是興趣盎然，并很快得出結(jié)果)：

S：由式⑥′：yx+a·yx-a=e2-1(-1

S：有點象，但這里沒有y0，即y2-y20=(e2-1)(x2-x20)能成立嗎?

T：問得好!這里，大家在比較中大家看出差異，進行了猜想：B11５囊話閌轎：y2-y20=(e2-1)(x2-x20).B12

T：那么，你能證明這個猜想成立嗎?

S：能，對原推導(dǎo)的④式：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)兩邊同除以a2得：y2=(e2-1)x2+b2.B13T：好!這個方程雖不是所求證的B12Ｊ劍它倒有點象直線方程中的斜截式：y=kx+b，歪打正著，可算是一個成果.但可以看到從原推導(dǎo)過程出發(fā)變形已難以得到B12Ｊ劍那我們是否可直接利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來得到B12Ｊ僥?

經(jīng)老師這么一鼓勵、提醒，學(xué)生就很快利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求得B12Ｊ劍

e2=c2a2=a2-b2a2 ①′

x20a2+y20b2=1 ②′

由①′得：b2=a2(1-e2),代入②，得：a2=x20+y201-e2,∴b2=(1-e2)x20+y20,把a2、b2代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，整理即得y2-y20=(e2-1)(x2-x20).

T：對!這就是所求的B12Ｊ劍我們稱它為點離式，大家不難看出B11！ⅹB13＞褪仟B12５奶厥馇樾危即：

T：當(dāng)P(x0,y0)=P(a,0)時，由B12Ｊ郊吹脃2=(e2-1)(x2-a2)B11＃同理，當(dāng)P(x0,y0)=P(0,b)時，由B12Ｊ郊吹脃2=(e2-1)x2+b2B13 同樣，我們統(tǒng)稱B11！ⅹB13Ｎ離截式.

這時學(xué)生運用類比思想，又猜想說：

S：那么，是否也還能有個像直線方程一樣的兩點式呢?

T：這個猜想猜得好!有意思.下面請大家一起用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來證明這個猜想：

T：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)是橢圓上兩點，且|x1|≠|(zhì)x2|,|y1|≠|(zhì)y2|，則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,∴b2a2=y22-y12x12-x22，又a2=b2+c2,e=ca,∴e2-1=y22-y12x22-x12.B14

由y2-y12=(e2-1)(x2-x12)得：

e2-1=y2-y21x2-x21，∴y2-y12x2-x12=y22-y12x22-x12，

即y2-y12y22-y12=x2-x12x22-x12.B15

T：對!這就是橢圓方程的兩點式.為讓學(xué)生繼續(xù)探索，教師提問：你還能將B14Ｊ劍篹2-1=y22-y12x22-x12變形并得到新的成果嗎?

S：設(shè)PQ的中點為M(x0,y0)，O是原點，則由B14５胑2-1=y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=kPQ·yMxM=kPQ·kOM.

T：變得好!我們又得到新的成果：橢圓(雙曲線)的離心率與其弦的中點(或原點到中點的斜率)及斜率的關(guān)系式：

kPQ·yMxM=kPQ·kOM=e2-1(焦點在x軸上)B16,kPQ·yMxM=kPQ·kOM=1e2-1(焦點在y軸上).B17

學(xué)生們覺得在橢圓(雙曲線)方程中能獲得這些與直線方程這樣對應(yīng)、和諧 的關(guān)系及在直線方程中所沒有的統(tǒng)一式，實在是太有意思了!這遠比原來在橢圓(雙曲線)方程中只有一個標(biāo)準(zhǔn)方程不知要豐富多少.事實上只要將直線方程中的量(常量或變量)中的“一次”改為“二次”；把k換成e2-1即得相應(yīng)的橢圓(雙曲線)方程，真是奇妙的很!這是原本所沒有想象到的可喜成果，這種成功，驚喜、美妙的體驗將進一步激發(fā)學(xué)生去探索、研究的欲望，并從一個新的層面上去學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會研究.

以上通過對橢圓三定義、六方程的研究，使學(xué)生一次又一次經(jīng)歷了探索、發(fā)現(xiàn)，體驗了成功，得到了許多創(chuàng)新成果.這是師生原本都沒有想象到的，也是傳統(tǒng)教學(xué)所不能達到的.

正如阿基米德所說：“如果給我一個支點，我就可以撬起整個地球”.研究性學(xué)習(xí)無疑正是這樣一個既能全面提高新世紀(jì)學(xué)生的整體素質(zhì)和創(chuàng)新能力，并真正提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的支點，它將無疑為高中教學(xué)注入了新的活力，帶來了新的生機和希望.

參考文獻

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［6］謝全苗.與中學(xué)數(shù)學(xué)教師談數(shù)學(xué)教育理論對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作的幫助.數(shù)學(xué)通報.2000.6.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文