探求函數圖像變換對函數定義域的影響

林再生

近幾年高考對三角變換的考查要求有所降低，而對三角函數這一章的內容考查有逐步加強的趨勢，主要表現在對三角函數的圖像與性質的考查上有所加強.對三角函數圖像進行變換是研究三角函數性質的有效途徑.本文將以課本的一道三角函數習題為例探求函數變換對定義域的影響.有興趣的讀者還可探求函數變換對值域的影響.

1.課本習題及教學用書解法展示

普通高中課程標準實驗教科書人教版數學必修4習題1.5A組第3題如下：

不畫圖，直接寫出下列函數的振幅、周期與初相，并說明這些函數的圖像可由正弦曲線經過怎樣的變化得到(注意定義域)：

(1)y=8sin(x4-π8),x∈［0，+∞)；

(2)y=13sin(3x+π7),x∈［0，+∞).

配套教師教學用書提供如下解答和說明：

(1)振幅是8，周期是8π，初相是-π8.

先把正弦曲線y0=sinx,x∈R向右平行移動π8個單位長度，得到函數y1=sin(x-π8)，x∈R的圖像；再把函數y1的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍(縱坐標不變)，得到函數y2=sin(x4-π8)，x∈R的圖像；再把函數y2的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的8倍(橫坐標不變)，得到函數y3=8sin(x4-π8)，x∈R的圖像；最后把函數y3的圖像在y軸左側部分抹去，就得到了函數y=8sin

(x4-π8)，x∈［0,+∞)的圖像.

(2)解答類似(1)，在此從略.

評注：了解簡諧振動的物理量與函數解析式的關系，并認識函數y=Asin

(ωx+φ)的圖像與正弦曲線的關系.

2.習題的設計意圖探究

習題題目特別用括號注明注意定義域，若根據教學用書上的說明，此題是為了讓同學們鞏固

三角函數圖像的變換，注意定義域是為了讓同學們注意了解簡諧振動的物理量與函數解析式

的關系，其中有一點應特別注意的是實際應用問題中的函數定義域一般為［0,+∞).

但筆者認為此題未能體現實際物理量定義域與y=Asin(ωx+φ)定義域的區別，此題并不能強調實際物理量的取值為［0,+∞).若要強調實際問題函數的定義域為［0,+∞)，設計一道實際應用題比較妥當.

一般而言，函數或三角函數在進行變換過程中，定義域也可能隨之變化.習題在目標函數后注明了定義域為［0,+∞)，并在題目括號中注明注意定義域.筆者認為編者編此習題的初衷是讓同學們鞏固三角函數圖像的變換，并了解與掌握三角函數圖像變換對函數定義域的影響.

3.探求三角函數圖像變換對函數定義域的影響

函數y=Asin(ωx+φ)+b中的A，ω,φ,b變化時，對函數圖像的形狀和位置會產生影響，

A和ω確定圖像形狀，φ和b確定圖像與坐標的位置關系.

3.1 三角函數圖像振幅變換對函數定義域的影響

由A的變化引起的圖像變換稱為振幅變換，它實質上是縱向的伸縮.

若將正弦曲線y=sinx,x∈R的圖像上所有點的縱坐標伸長或縮短到原來的A(A>0)倍(橫坐標不變)，得到函數y=Asinx的定義域仍為R.

若將函數y=sinx,x∈［m,+∞)的圖像上所有點的縱坐標伸長或縮短到原來的A(A>0)倍(橫坐標不變)，得到函數y=Asinx的定義域也為［m,+∞).

若將函數y=sinx,x∈(-∞,n］的圖像上所有點的縱坐標伸長或縮短到原來的A(A>0)倍(橫坐標不變)，得到函數y=Asinx的定義域也為(-∞,n］.

若將函數y=sinx,x∈［m,n］的圖像上所有點的縱坐標伸長或縮短到原來的A(A>0)倍(橫坐標不變)，得到函數y=Asinx的定義域也為［m,n］.

上述函數的定義域中的閉區間改為開區間，結論一樣成立.

3.2 三角函數圖像周期變換對函數定義域的影響

由ω的變化引起的圖像變換稱為周期變換，它實質上是橫向的伸縮.

若將函數y=sinx,x∈R的圖像上所有點的橫坐標伸長或縮短到原來的ω(ω>0)倍(縱坐標不變)，得到函數y=sinωx的定義域也為R.

若將函數y=sinx,x∈［m,+∞)的圖像上所有點的橫坐標伸長或縮短到原來的ω(ω>0)倍(縱坐標不變)，得到函數y=sinωx的定義域為［mω,+∞).

若將函數y=sinx,x∈(-∞,n］的圖像上所有點的橫坐標伸長或縮短到原來的ω(ω>0)倍(縱坐標不變)，得到函數y=sinωx的定義域為(-∞，nω］.

若將函數y=sinx,x∈［m,n］的圖像上所有點的橫坐標伸長或縮短到原來的ω(ω>0)倍(縱坐標不變)，得到函數y=sinωx的定義域為［mω,nω］.

上述函數的定義域中的閉區間改為開區間，結論一樣成立.

3.3 三角函數圖像相位變換對函數定義域的影響

由φ的變化引起的圖像變換稱為相位變換，它實質上是一種左、右平移變換.

若將正弦曲線y=sinx,x∈R的圖像上所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位，得到函數y=sin(x+φ)的定義域也為R.

若將正弦曲線y=sinx,x∈［m,+∞)的圖像上所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位，得到函數y=sin(x+φ)的定義域為［m-φ,+∞).

若將正弦曲線y=sinx,x∈(-∞，n］的圖像上所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位，得到函數y=sin(x+φ)的定義域為(-∞，n-φ］.

若將正弦曲線y=sinx,x∈［m，n］的圖像上所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位，得到函數y=sin(x+φ)的定義域為［m-φ，n-φ］.

3.4 三角函數圖像上下平移對函數定義域的影響

由b的變化引起的變換稱為上、下平移變換.將三角函數圖像進行上、下平移變換時，易知其定義域不會發生變化.

4.變換對定義域影響的推廣

4.1 若將函數y=f(x)的圖像上所有點的縱坐標伸長或縮短到原來的A(A>0)倍(橫坐標不變

)，得到函數y=Af(x)的定義域不會發生變化.

4.2 若將函數y=f(x)的圖像上所有點的橫坐標伸長或縮短到原來的ω(ω>0)倍(縱坐標不變

)，得到函數y=f(ωx)的定義域的起點值和終點值分別是原函數定義域的起點值和終點值的1ω.

4.3 若將函數y=f(x)的圖像上所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位

，得到函數y=f(x+φ)的定義域的起點值和終點值分別是原函數定義域的起點值減φ和終點值減φ.

4.4 若將函數y=f(x)的圖像上所有點向上(當b>0時)或向下(當b<0時)平移|b|個單位，得到函數y=f(x)+b的定義域不會發生變化.

5.課本習題的另解

解：(1)為了得到函數y=8sin(x4-π8),x∈［0,+∞)，只需將函數y3=sin(x4-π8),x∈［0,+∞)的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的8倍(橫坐標不變)；為了得到函數y3，只需將函數y2=sin(x-π8),x∈［0,+∞)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍(縱坐標不變)；為得到函數y2，只需將函數y1=sinx,x∈［-π8,+∞)的圖像上所有點向右平移π8個單位.

(2)為了得到函數y=13sin(3x+π7),x∈［0,+∞)，只需將函數y3=13sin3x,x∈［π21,+∞)的圖像上所有點向左平移π21個單位；為了得到函數y3，只需將函數y2=13sinx,x∈［π7,+∞)的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的13倍(縱坐標不變)；為了得到函數y2，只需將函數y1=sinx,x∈［π7,+∞］的圖像上所有點的縱坐標縮短到原來的13倍(橫坐標不變).

6.一類新編題

通過對這道課本習題的研究性學習，我們可以以此為背景新編出一類習題.此類習題在教學時有助于同學們對函數定義域的進一步深刻理解，也可以對函數變換(三角函數變換)加深鞏固，更可能成為高考考察三角函數部分的新視角.

6.1 已知函數y=sin(2x-π3),x∈(π3,2π3)，將其圖像上所有點向右平移π3個單位，可得(D).

A.函數y=sin(2x-2π3),x∈(0,π3)

B.函數y=sin(2x-2π3),x∈(2π3,π)

C.函數y=-sin2x，x∈(π6,π2)

D.函數y=-sin2x，x∈(2π3,π)

6.2 為了得到函數y=sin(2x-π3),x∈［π3,2π3］，只需(A).

A.將函數y=sin2x,x∈［π6,π2］的圖像上所有點向右平移π6個單位

B.將函數y=sin(x-π3),x∈［π6,π3］的圖像上所有點橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變

C.將函數y=sin(x-π3),x∈［π6,π3］的圖像上所有點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變

D.將函數y=3sin(2x-π3),x∈［π,2π］的圖像上所有點縱坐標縮短到原來的13倍，橫坐標不變

6.3 關于函數f(x)=4sin(2x+π3),x∈［-2π,2π］，有下列命題：

①將函數f(x)的圖像所有點向上或向下平移π3個單位，其定義域不發生變化；

②將函數f(x)的圖像所有點向左或向右平移π3個單位，其定義域不發生變化；

③將函數f(x)的圖像所有點向橫坐標伸長或縮短到原來的2倍(縱坐標不變)，其定義域不發生變化；

④將函數f(x)的圖像所有點向縱坐標伸長或縮短到原來的2倍(橫坐標不變)，其定義域不發生變化；

⑤將函數f(x)的圖像所有點向橫坐標伸長或縮短到原來的2倍(縱坐標不變)，其定義域為［-π,π］.

以上命題正確的是 ①④⑤ .

上述習題只要應用本文的一些探究結論，便可迎刃而解，在此不再詳解.

7.習題學習的感悟

通過對這一道課本習題的深入學習，筆者對習題的背景與解法提出了個人見解，在學習之余新編了一類習題，應該說在學習之余自己也受益匪淺.

對于上述一類新編題，第一，題目的設計與課程評價目標相一致，命題切實體現高中新課程

理念，說明命題的科學性；第二，考查學生運用所學知識分析問題、解決問題的能力，突出了試題的能力要求；第三，試題的素材與解答對所有考生都具有公平 性，避免需要特殊背景知識和特殊答題方式.這說明上述新編題是一類具有很強的生命力、符合新課程理念的創新性試題.

新教材只是提供了學生學習活動的基本線索.教學活動中，教師應根據學生實際，充分發揮自己的主觀能動性，創造性地使用教材，積極開發、利用各種教學資源，結合教學內容和學生實際進行拓展與創新，并提出了一些重要的研究問題，再創造性地解決問題.這順應了新課標理念，也符合新課標精神.

創新性學習是指引導學生主動、有效地參與學習，在動態中探索未知，獨立地發現問題，尋找有創意的解決問題的方法的學習.作為一名數學教育工作者，應積極主動在課堂教學、習題解答、聽課評課中去發現問題，并尋求創新性解法，對素材進行提煉、總結，相信一定會有所收獲.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文