若干三元不等式的簡證和推廣

宋　慶

本文旨在給出近年國內中學數學期刊出現的幾個三元不等式的簡單證明和推廣.

命題1 設a,b,c是正數，且a+b+c=1,則有(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥(76)3.

以上不等式最早刊登在《數學通訊》2007年第5期，本刊2007年第10期P12-13上給出了一個簡捷證明，受其啟發，筆者有一個改進的簡單證法(僅用到均值不等式).

證明：令b+c=x,c+a=y,a+b=z，則x,y,z為正數，且x+y+z=2.于是，1b+c-a=(x+49x)+59x-1≥2x·49x+59x-1=19(5x+3).

(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥193·(5x+3)(5y+3)(5z+3)=193［53+6·52xyz+32·5·(1x+1y+1z)+33］≥193［53+6·52(x+y+z3)3+32·5·9x+y+z+33］=(76)3.

命題2 設a,b,c為正數，則有(a2+2)·(b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2.

這是2004年亞太地區數學奧林匹克題5的加強，本刊2007年第10期P48-49給出了一個證明.下面，筆者提供兩種簡證.

證明1：因a2-1、b2-1、c2-1中必有兩個非負或非正，故不妨設(b2-1)(c2-1)≥0，于是(b2+2)(c2+2)≥3(b2+c2+1).

由上式及柯西不等式，得(a2+2)(b2+2)·(c2+2)≥3(a2+1+1)(1+b2+c2)≥3(a+b+c)2.

證明2：因2(bc-1)2+(b-c)2≥0，故(b2+2)(c2+2)≥3［(b+c)22+1］.

(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a2+2)·［(b+c)22+1］=3［a2+(b+c)2+a2(b+c)22+2］≥3［a2+(b+c)2+2a(b+c)］=3(a+b+c)2.

命題3 已知a,b,c為滿足a+b+c=1的非負實數，則有a+14(b-c)2+b+c≤3.

這是2007年中國女子數學奧林匹克題6，《中學數學》2007年第12期P35-36刊登了兩種證法尤以證法1的構思令人叫絕，下述證法亦不遜色.

證明：原不等式等價于(3-b-c)2≥a+14(b-c)22(b+c)+2bc-23(b+c)+2≥14(b-c)2(b-c)2+［3(b+c)-2］2≥12(b-c)2(b-c)2≥12(b-c)2(b-c)2［2-(b+c)2］≥0,

而(b+c)2≤2(b+c)≤2(a+b+c)=2，故原不等式成立.

2004年泰國數學奧林匹克試題(參見本刊2007年第3期P45)：設a,b,c是不同的實數，證明：(2a-ba-b)2+(2b-cb-c)2+(2c-ac-a)2≥5.

推而廣之，筆者獲得

命題4 若a,b,c是不同的實數，則對λ≥2，有(λa-ba-b)2+(λb-cb-c)2+(λc-ac-a)2≥2λ+1.

證明:令x=aa-b,y=bb-c,z=cc-a,則(x-1)(y-1)(z-1)=xyz，從而可得x+y+z=yz+yx+xy+1.

(λa-ba-b)2+(λb-cb-c)2+(λc-ac-a)2=［(λ-1)x+1)］2+［(λ-1)y+1)］2+［(λ-1)z+1)］2=(λ-1)2(x2+y2+z2)+2(λ-1)(x+y+z)+3=(λ-1)(x+y+z)2+(λ-1)(λ-2)(x2+y2+z2)+2λ+1≥2λ+1.

《中等數學》2007年第7期P10有題：設a,b,c∈R+，且abc=1,求12a+1+12b+1+12c+1的最小值.

一般化，我們有

命題5 若a,b,c是滿足abc=1的正數，則對λ≥2有1λa+1+1λb+1+1λc+1≥3λ+1.

證明：原不等式等價于(λ+1)［(λb+1)·(λc+1)+(λc+1)(λa+1)+(λa+1)(λb+1)］≥3(λa+1)(λb+1)(λc+1)(λ+1)［λ2·(bc+ca+ab)+2λ(a+b+c)+3］≥3［λ3+λ2(bc+ca+ab)+λ(a+b+c)+1］訐(λ-2)(bc+ca+ab)+(2λ-1)(a+b+c)≥3(λ2-1).

因λ(λ-2)(bc+ca+ab)+(2λ-1)(a+b+c)≥3λ(λ-2)3a2b2c2+3(2λ-1)3abc=3(λ2-1).故原不等式成立.

命題6 若a,b,c是正數，對則λ≥0有a3a2+λab+b2+b3b2+λbc+c2+c3c2+λca+a2≥a+b+cλ+2.

證明：a3a2+λab+b2=a-ab(λa+b)a2+λab+b2≥a-ab(λa+b)(λ+2)ab=a-λa+bλ+2,a3a2+λab+b2+b3b2+λbc+c2+c3c2+λca+a2≥a-λa+bλ+2+b-λb+cλ+2+c-λc+aλ+2=a+b+cλ+2.

λ=1時，命題6為2003年北京市中學生數學競賽高一復賽第二題.

命題7 若a,b,c是非鈍角三角形的三邊長，則對λ≥1有bcλb2+λc2-a2+ca·λc2+λa2-b2+abλa2+λb2-c2≥

2(2λ-1)λ+1λabc.

證明：因(λ+1)a2(λb2+λc2-a2)≤(λ+1)a2+λb2+λc2-a22=λ(a2+b2+c2)2，

故λb2+λc2-a2a≥2λ+1(λb2+λc2-a2)λ(a2+b2+c2).同理可得其余兩式，三式相加可得

λb2+λc2-a2a+λc2+λa2-b2b+

λa2+λb2-c2c≥2(2λ-1)λ+1λ.

所以，原不等式成立.

命題7推廣了《數學通報》2007年6月號問題1680.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文