中心型圓錐曲線中點弦的一個性質(zhì)及其應(yīng)用

吳望茂　李　斌

眾所周知，在平面直角坐標(biāo)中，對于任意一個給定的圓，設(shè)其圓心為M，弦PQ的中點為R.若PQ=(u1,v1),MR=(u2,v2),則PQ摺蚆R擼即u1u2+v1v2=0.

本文將上述圓的性質(zhì)推廣，得到一般中心型圓錐曲線中點弦的一個性質(zhì)，并探討這個性質(zhì)在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1 中心型圓錐曲線中點弦的一個性質(zhì)

定理1 對于給定的中心型圓錐曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，設(shè)它的中心為M，弦PQ的中點為R.若PQ=(u1,v1),MR=(u2,v2),則Au1u2+Bu1v2+u2v12+Cv1v2=0.特別地，當(dāng)Γ的對稱軸平行或重合于坐標(biāo)軸時，有Au1u2+Cv1v2=0；當(dāng)Γ為圓時，有u1u2+v1v2=0.

證明：設(shè)M(x0,y0),R(x1,y1),P(x1-△x,y1-△y),Q(x1+△x,y1+△y),記Γ的方程左邊為Γ(x,y),則由P∈Γ，Q∈Γ可知

Γ(x1-△x,y1-△y)=0 ①

Γ(x1+△x,y1+△y)=0 ②

將①、②的左邊展開，則由①-②并整理可得：(2Ax1+By1+D)(2△x)+(B1x1+2Cy1+E)(2△y)=0 ③

又由二次曲線的理論可知，Γ的中心M(x0,y0)滿足

2Ax0+By0+D=0 ④

Bx0+2Cy0+E=0 ⑤

由④×(2△x)+⑤×(2△y)得

(2Ax0+By0+D)(2△x)+(Bx0+2Cy0+E)(2△y)=0 ⑥ 由③-⑥得：

［2A(x1-x0)+B(y1-y0)］(2△x)+［B·(x1-x0)+2C(y1-y0)］(2△y)=0,顯然，(u1,v1)=(2△x,2△y),(u2,v2)=(x1-x0,y1-y0).

故(2Au2+Bv2)u1+(Bu2+2Cv2)v1=0.

即Au1u2+B·u1v2+u2v12+Cv1v2=0.

當(dāng)u1u2≠0，即直線PQ、MR都存在斜率時，定理1的向量形式可轉(zhuǎn)化為斜率形式，因此有如下定理.

定理2 對于給定的中心型圓錐曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，設(shè)它的中心為M，弦PQ的中點為R.若直線PQ的斜率為k1,直線MR的斜率為k2，則A+B·k1+k22+Ck1k2=0.特別地，當(dāng)Γ的對稱軸平行或重合于坐標(biāo)軸時，有A+Ck1k2=0;當(dāng)Γ為圓時，有k1k2=-1.

2 中心型圓錐曲線中點弦性質(zhì)的應(yīng)用舉例

定理1、定理2描述了中心型圓錐曲線中點弦的方向向量(或斜率)與過中心型圓錐曲線中心及弦中點的直線的方向向量(或斜率)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

定理1、定理2在高考數(shù)學(xué)解題中具有重要的應(yīng)用價值.運用它們解決x2a2+y2b2=1(a>b>0)、x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)等曲線的中點弦問題，解題過程簡單優(yōu)美.

例1 設(shè)橢圓方程為x2+y24=1，過點M(0，1)的直線l交橢圓于兩點A和B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足OP=12(OA+OB)，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程.

分析：設(shè)P(x,y)，則kOP與kAB均可用x、y表示.而由定理2可知1+14·kOP·kAB=0，故由此可直接建立P(x,y)的軌跡方程.

解：設(shè)P(x,y)，因為OP=12(OA+OB),所以P為弦AB的中點.

(1)當(dāng)x≠0，由定理2可得：1+14·kOP·kAB=0,即1+14·yx·y-1x=0,化簡得4x2+y2-y=0.

(2)當(dāng)x=0時，P的坐標(biāo)為(0，0)或(0，1)，均符合上面的方程.

綜上，P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.

評注：此題有多種解法，比如，可用韋達定理和參數(shù)法求解，但解題過程較繁.

例2 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A，B是橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P(x0,0).證明：-a2-b2a

分析：設(shè)線段AB的中點為M(x,y)，則依題意可用M(x,y)表達x0得x0=f(x,y)，然后利用這個表達式及條件“M(x,y)在橢圓內(nèi)”，估計x0的取值范圍.

證明：設(shè)坐標(biāo)原點為O，線段AB中點為M(x,y)，顯然，由題設(shè)可知kAB

存在.AB=t(1,kAB)=(t,tkAB)(t≠0)，OM=(x,y),PM=(x-x0,y).對AB摺OM哂τ枚ɡ1得：

1a2tx+1b2tkABy=0,①由AB摺PM=0，得

t(x-x0)+tkABy=0②

由①、②可得x0=a2-b2a2x,又x∈(-a,a),故-a2-b2a

評注：此題的解題關(guān)鍵是，根據(jù)OM哂階B

叩墓叵怠PM哂階B叩墓叵擔(dān)建立關(guān)系式①、②，然后得到表達式x0=a2-b2a2x,x∈(-a,a).解題思路清晰而自然.

例3 已知橢圓x24+y23=1，試確定實數(shù)m的取值范圍，使得橢圓上總有不同的兩點關(guān)

于直線l:y=4x+m對稱.

分析：此題等價于“求實數(shù)m的取值范圍，使橢圓內(nèi)斜率為定值-14的弦中點的軌跡與直線l有公共點”.

解：設(shè)A，B是橢圓上關(guān)于l對稱的兩點，且AB中點為P(x0,y0).由kAB·kl=-1,得kAB=-14,又OP=(x0,y0),AB=t(1,kAB)=(t,-14t)(t≠0).對AB摺OP咴擻枚ɡ1可得14tx0+13·(-14ty0)=0,即3x0-y0=0①

又由P∈l得y0=4x0+m ②

故由①、②得x0=-m,y0=-3m.

因為P(x0,y0)在橢圓內(nèi)，所以(-m)24+(-3m)23<1，即-21313

評注：此題的解題關(guān)鍵是，根據(jù)OP哂階B的關(guān)系建立斜率為定值-14的弦AB中點P(x0,y0)的軌跡方程3x0-y0=0(x024+y033，解題過程簡捷而優(yōu)美.