提高高中數學解題教學中探究性學習的有效性摭談

陳萬龍　元正全

一、問題的提出

高中數學課程標準的基本理念明確指出“高中數學課程應倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方式”，“使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造過程”，“高中數學課程設立‘數學探究等學習活動”，“高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識.”這些理念明確了一個教育改革趨勢：在數學教學中提倡“探究性學習”，加強學生數學探究能力的培養.

而探究能力的培養，僅靠幾次數學探究活動是難以獲得預期效果.故運用數學解題教學情境來培養學生的探究能力將成為實現這一基本理念的主要途徑.但近幾年我們在數學教學調研中發現有幾種不良教學探究行為：第一，教師接二連三地問，學生斷斷續續地答，教師不斷發出指令，學生手忙腳亂地執行“探究”，其間學生完全被教師的思維設計左右，學生處處處于被動局面，這種探究不能稱其為探究；第二，一味追求探究過程的真實、自然，放任學生探究的所謂“科學探究”也不是有效地探究學習，這種探究過程中學生處于失控狀態，教師沒有發揮其教學活動中的主導作用，因為有效的探究學習離不開教師的科學調控，精心設計.事實上解題教學中進行探究性學習，是讓學生經歷解題思路的發現、解題方案的制訂和實施的過程，有助于加深學生對數學知識的理解和掌握，它有助于培養學生應用知識分析問題和解決問題的能力，有助于鍛煉學生的思維能力和創新能力.

探究活動的啟動有賴于問題情景的創設，然而，在解題教學中，教師精心設計了數學問題，學生探究學習是否一定有較好的效果?下面從“有效的探究性學習的特征”和“教師如何引導探究——讓學生的探究更有效”兩方面談談個人的認識.

二、有效探究性學習的特征

(一)自主性.建構主義認為，知識不是客觀的東西，而是主體的經驗、解釋

和假設，教學要創設一定的環境，促進學習者主動建構知識的意義.引導學生自主發現規律，自主尋找方法，自主探究思路，自主解決問題.高中數學課程標準的基本理念指出：數學教學應倡導積極主動、勇于探索的學習方式，發揮學生學習的主動性.前面提到的第一種探究形式就嚴重違背了學生在探究學習中的自主原則.

(二)科學性.探究活動的內部機制是思維活動.今天，人們對自身頭腦的活動

已有較多的認識，應用發現的思維規律指導探究，可以使探究少走彎路，探究過程更規范、有序.

(三)時效性.時效是指單位時間內的教學效果.無論哪一種教學形式，課堂效

率高才應該受到推崇.

(四)成效性.成效指教學活動價值的實現程度，指課堂容量大小，它和時效

一樣都是衡量課堂效率的重要指標.前面第二種探究形式就沒有實現探究教學活動的較高時效性和較好的成效性.

有效的探究學習應兼顧以上四個特征，四者不可偏廢.因此教師應根據探究活動的內部機制，結合探究內容、學生的基本學情，適時、恰當地精心設計、科學調控解題教學中的探究活動.

三、解題教學中，教師如何引導探究——讓學生探究更有效

(一)教給學生探路的方法，讓學生探究更科學

探究解題思路的思維活動是對問題的識別、歸類和假設驗證的過程.據心理學研究表明：探究解題思路首先是對問題的類型加以識別，根據各類問題的特征準確地將其歸類，以便應用相應的解題方法求得問題的解決.高中生已積累了豐富的解題經驗，理性思維得到一定程度地發展.教給他們科學的探索解題思路的方法，或者說是明晰原來已存在頭腦中但是說不清、道不明的解題意識，無疑會給他們在自主探索時減少盲目性，使探究更科學.

根據波利亞的解題思想，探究解題思路的思索階段可分三步：審題—聯想—探路.每一步學生可根據下列“思索三步問題表”向自己提一些問題，促使自己在探究中摸索著前進.

思路三步問題表：

步

驟問題或建議審

題1.已知和要求各是什么?實質是什么?

2.有何關鍵或特點?能否換一種語言敘述題意?能否畫題意附圖.聯

想3.這是何種類型題目?常有哪幾種解法?先選哪一種試探?能最后解、證得出嗎?

4.聯想了哪個知識，怎樣利用它?能進一步轉化嗎?探

路5.能否先把已知轉化為可知，未知轉化為需知?思路是否連通?

6.能否先研究特例或部分問題，從中獲得啟示?

7.轉化難以實現的癥結是什么?(二)適時介入探究過程，提高探究的時效性

新課標倡導充分發揮學生的主體性，讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發展，在“合作”中增知，在“探究”中創新.同時也提出在探究活動中教師決不能只是旁觀者的角色，而應該做探究活動的合作者、引導者、促進者，自始至終參與探究歷程.

課堂教學有生成性，探究活動中，探究受阻，探究偏離預定方向是普遍存在的現象.我們并不排除此時從課堂實際出發而修改教學目標，調整教學進度的作法，但這只是個別情況下的特例.試想每堂課都為了探究而探究，延緩教學目標的實施，這顯然是不現實的.一般情況下，此時教師應選擇恰當的時機、適當的方式介入探究過程，促使探究活動順利達到預定目標.

1.介入的時機和方式.孔子早就說過：“不憤不啟，不悱不發.”意思是說：只有在學生思考不出而產生煩悶心情時，在學生想說又說不出來時，教師才予以啟發.探究活動中，教師應通過巡視、參與、傾聽，從學生的目光、表情、舉止和他們的練習、答問或質疑中捕促“憤、悱”的時機適時介入.教師可以通過提供鋪墊性問題，為學生探究提供腳手架；也可通過提問的方式啟導思維，幫助學生打開思路；另外，教師還要審時度勢及時調整探究方式，組織學生合作探究.

2.介入的原則：“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達.”教師的介入，是通過比較自然的幫助，促使學生自己想出一個好念頭.

(三)借題引發再次探究，擴大探究的成效性

很多解題教學的課堂，教師提供多個毫無關聯的問題讓學生探究學習，由于要閱讀多個不相關的問題情景，勢必增加學生閱讀理解的負擔，浪費大量寶貴的時間，不利于增大課堂容量，而且由于問題過于分散，不利于幫助學生建構較為系統的方法體系，不利于培養思維的深刻性.若能以中心問題為依托，充分把握中心問題的輻射功能和教學功能，既能有效地擴大容量，又能使學生的思維無論從廣度、深度，還是思維品質得以全方位的錘煉.

1.引導學生反思過程，優化解題思路

羅增儒教授認為：思路一旦打通，解法初步得出，便終止解題活動，這會使思維的暴露與理

解徘徊于表層段面.“總是囿于探索看探索，不能跳出探索，居高臨下地看探索.因此，還需要數學解題思維過程的繼續暴露.”此時，教師應幫助學生發現思維回路中多余的思維“冗余”，體會其中蘊含的數學思想.

例1 (2004湖北高考題)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B，求實數k的取值范圍.

學生經過自主探究，很快得出如下解法：

解：將直線和雙曲線聯立消y后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0，依題意，方程(k2-2)·x2+2kx+2=0有兩個不小于22的根.

設f(x)=(k2-2)x2+2kx+2，則

(1)k2-2>0

△=-4k2+16>0

-2k2(k2-2)>22

f(22)≥0或

(2)k2-2<0

△=-4k2+16>0

-2k2(k2-2)>22

f(22)≤0解之得-2

引導學生分析：(2)式的解集為空集，能事先預知嗎?學生經過討論，畫圖分析，發現：由于f(x)的圖像恒過(0，2)點，開口向下時，不可能與x軸交點都在22右側.所以不等式組(2)是無效的，多余的.

之后再次引導學生討論：方程2x2-y2=1(x≥22)和方程2x2-y2=1(x>0)等價嗎?由此你有何啟發?學生再次討論得到改進的方法：k2-2≠0

△=-4k2+16>0

-2kk2-2>0

2k2-2>0解得-2

2.引導學生一題多解，培養思維靈活性

教師幫助學生突破集中的思維定勢，多角度地引導學生觀察，分析問題的性質特征，想象、思考、探索，另辟蹊徑解決問題.

例2 已知a>b>c>0，求證：1a-b+1b-c+1c-a>0.

學生的一般解法是把目標式左邊通分，化簡，再把分子變形以便判斷它為正數.此時，教師可引導學生思考：盡管通分化簡是解決有關分式問題的常規方法，但如果項數增多或分母的次數增高，那就不但計算量增大，而且難度也增大.因此，這種情況下應設法縮小通分的范圍或避免通分.師生經過合作探討，可得以下兩種方法：

證二：1a-b+1b-c+1c-a>01a-b+1b-c>1a-c赼-c(a-b)(b-c)>1a-c醓-c>0

a-ca-b·a-cb-c>1醓>b>c.∴1a-b+1b-c+1c-a>0.

證三：∵a>b>c>0,∴a-b>0,a-c>b-c>0.∴1a-b>0,1b-c+1c-a=1b-c-1a-c>0.∴1a-b+1b-c+1c-a>0.

對于一個題目，從不同角度去觀察和分析，會得到不同的啟示，引出不同的解法.當然，我們的目的不是探究幾種解法，而是通過一題多解，學會綜合運用所學知識，發展思維能力，訓練思維的靈活性和深刻性.

3.引導學生一題多變，培養思維發散性

所謂一題多變是指根據問題的性質或特征與考察的知識或能力，按照一定的梯度、廣度、深度進行遷移，類比或拓展、延伸.一題多變以中心問題為依托，實現由點到面的擴展，充分發揮中心問題的輻射功能，從而有助于強化深化相關問題及解題思維系統性的理解和掌握，有助于增加課堂的知識容量和思維容量，提高課堂效率.

例3 四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，問圖中有幾個直角三角形?(人教版高中數學第三冊下B第24頁第3題.)

變式一：若A在PB、PC、PD上的射影分別為E、F、G，求證：AE⊥面PBC.

變式二：求證：變式一中A、E、F、G四點共面.

變式三：求證P、A、B、C、D五點共球.

變式四：若設BD=3，AP=1，求A、C兩點間的球面距離.

這一組變式題由淺入深，由表及里，知識跨度大，引導學生探究，可使學生的立體幾何知識體系經歷一次部分到整體，再由整體到部分的大循環，可極大地提高學習效果.

4.引導學生編題訓練，培養知識遷移能力

一題多變是一種創造性勞動，教師除了自己精心設計變式外，還要注意引導學生編題.下面是一位學生在學習探究過程中的一次編題個案：

進入高三第一輪復習，我們在老師的指導下，一方面對教材上的概念、例題、習題等逐章逐節研究，另一方面對近幾年的高考命題也展開研究.我在對04與05年有關“線性規劃”試題研究中，發現04年的相關試題緊扣教材的試題原型，其形式單一，內容簡單；而05年的相關試題的問題情景發生了改變，有考查與三角形交匯的問題，如05年浙江卷；有考查與直線交匯的問題，如05年江西卷；有考查與概率統計交匯的問題，如05年遼寧卷.當我們在復習函數時，我突發奇想：線性規劃問題可以與函數交匯嗎?

有了這種想法，我就多了一條搜尋線索.有一次我發現一道這樣的函數題：

題1 如右圖：等腰梯形ABCD的兩底分別為AB=2a,DC=a,∠DAB=π

4，作直線MN⊥AB，交AB于點M，交折線ADCB于N，設AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側的面積y表示成x的函數，并寫出其定義域.

解答過程中，我發現上圖中直線MN的左側陰影部分是一個變化的平面區域，倘若在圖中引入平面直角坐標系，將梯形的四條邊所圍的區域看成可行域，就可以創設一個“線性規劃”新題.

變式1：試作出由不等式0≤y≤a2

y≤x

x+y≤2a所確定的可行域.

變式2：試求出由不等式組0≤y≤a2

y≤x

x+y≤2a所圍成區域的面積.

但題1中的陰影部分也是一個變化的平面區域，它是 由可移動直線MN確定，又直線MN的位置由AM=x中的x確定，倘若我們引入一個可移動的區域與變式1中的可行域相交，就可以得到一個與函數交匯的線性規劃創新題.

這對培養學生的知識遷移能力與創新能力有極其重要的作用.另外，問題來源于學生，又讓他們去解決自己變化出來的問題，可想學習的興趣將會何等高漲.

5.引導學生串題分析，引發課題探究

數學題目繁星閃爍，千變萬化，但并非孤立無聯系，在解題中我們總會碰到一些似曾相識的問題，此時，應停下腳步，引導學生把這些問題串在一起，從命題形式和解題方法上加以對比，分析研究，抽象概括，由感性經驗上升到理性認識，獲得對這一類問題的本質理解.這實際上是一種類似課題研究的探究，對深化學生對問題的認識，提高解題能力有極大的幫助.

例4 在高三復習中碰到這樣一系列問題：

(1)若|x-(a+1)22|≤(a-1)22與x2-3(a+1)

x