例說化歸思想在解題中的應用

陳明娟

在解題的過程中，有意識地將生疏、復雜的問題轉化為熟悉的、簡單的問題來處理的思維方式就是化歸思想，它是一種重要的數學思想，下面例說化歸思想在解題過程中的應用.

一、正逆轉換

數學中不少概念、運算和符號、思維方式是互逆的.如加減、乘除、乘方與開方、指數與對數、原函數定義域與反函數的值域、直接法和間接法、正向思維和逆向思維等等.例1 已知a,b,c為實數，A=a+2-2b+π2,B=b+2-2c+π3,C=c+2-2a+π6,試證A、B、C中至少有一個值大于0.(2000年北京初中競賽題)

析解：若按A、B、C中有1個、2個、3個大于0分類求解十分繁雜，為此，須改證其等價命題A+B+C>0，則知原命題必成立.因為A+B+C=(a-1)+2+(b-1)+2+(c-1)+2+π-3>0，所以A、B、C中至少有一個值大于0.

二、類似轉換

數學中有許多概念和公式或形狀類似或意義類似，如方程與方程組、方程與函數、相似與全等，等等.這些關系總有著千絲萬縷的聯系，可利用題設特征進行轉化.例2 已知：m1=a+ba-b,m2=c+dc-d,m3=ac-bdad+bc,求證：m1+m2+m3=m1m2m3.

分析：將表達式適當變形，m1=a+ba-b=1+(ba)1-(ba),m2=1+(dc)1-(dc),m3=1-(bdac)(dc)+(ba),發現其外形與三角正切公式神似，通過換元，促其轉換.

證明：令tanα=ba,tanβ=dc,則m1=1+(ba)1-(ba)=tan(45°+α),同理：m2=tan(45°+β),m3=1-tanα5tanβtanα+tanβ=cot(α+β)=tan［90°-(α+β)］,又∵(45°+α)+(45°+β)+［90°-(α+β)］=180°，∴tan(45°+α)+tan(45°+β)+tan［90°-(α+β)］=tan(45°+α)tan(45°+β)tan［90°-(α+β)］,即：m1+m2+m3=m1m2m3.

三、特殊與一般轉換

探求一般性問題，往往先從簡單情形或特殊情況入手，先解決特殊性，通過聯想，以求得一般性解答方案或途徑.但有時某些特殊性問題由于條件隱蔽且計算量大，于是不妨先將其抽象成一般的命題，證明其正確性，然后再返回到特殊命題中.

例3 計算1995+3-2×1995+2-19931995+3+1995+2-1996.

(2000年北京市初中競賽題)

解：設1995=a，則原式=a+3-2a+2-(a-2)a+3+a+2-(a+1)=(a-2)(a+2-1)(a+1)(a+2-1)=19931996.例4 如圖1，△ABC中，AB=AC=2,BC上有100個不同的點Pi(i=1,2,……，100)，記mi=AP+2i+BPi5PiC，求m1+m2+…+m{100}的值.(1990年全國初中數學聯賽試題)

析解：取特殊點探索，當Pi為點B或C或BC中點D時，均有mi=4，故可猜想mi=4.事實上，作AD⊥BC于D，則BD=DC,設BD=DC=a,PiD=b,則mi=AP+2i+(a-b)(a+b)=AP+2i-b+2+a+2=AD+2+BD+2=AB+2=4，所以m1+m2+…+m{100}=400.

四、整體與局部轉換

整體觀察、整體代入、整體變形等都是從整體的角度上考慮，如果把整體分成若干個簡單、局部的問題，然后再分而治之，逐個擊破.如分類討論，染色法等都是“化整為零”的具體表現形式.

例5 已知n>2(n∈N)，證明：1n+1(1+13+15+……+12n-1)>1n(12+14+……+12n).(1984年蕪湖競賽試題4)分析：這是一個與n有關的不等式證明問題，我們把其轉化成局部問題，逐一論證各個局部問題，找出規律，最終使問題得到解決.

證明：12=12,13>14,15>16,…，12n-1>12n,12>(12)+(14)+……+(12n)n,將上述各式相加，則有：1+13+15+……+12n-1>n+1n(12+14+……+12n),即1n+1(1+13+15+……+12n-1)>1n(12+14+16+

……+12n).

五、數形轉換

數與形是一個不可分割的兩個數學概念，在解答代數問題時，可據其結構特點及幾何意義，將數轉換成圖形問題，以形助數；另一方面，對于幾何圖形，也可利用圖形特點轉換成代數問題，以數解形.

例6 正數x、y、z滿足方程組[JB({]x+2+xy+y+23=25,=y+23+z+2=9,=z+2+xz+x+2=16.[JB)]試求：y+2yz+3xz的值.(1994年全國數學奧林匹克試題)解：依題設條件構造如圖2，其中∠ROP、

∠POQ、∠QOR分別為150°、90°、120°，OR、OP、OQ分別為x,y3,z，由已

知方程組及余弦定理、勾股定理可求得RP、PQ、QR的平方分別為25、9、16.又在△PQR中，PR+2=PQ+2+QR+2，于是∠PQR=90°，從而S{△PQR}=S{△POR}+S{△POQ}+S{△QOR}=xy23sin150°+yz23+12xzsin120°=xy43+yz23+3xz4=(xy+2yz+3xz)43=6,∴xy+2yz+3xz=243.

評注：若通過解方程組來求值，則會陷入消元的復雜運算之中，將數式轉化為形，利用三角形性質使求值變得簡單.

例7 在△ABC中，AB=9，BC∶AC=40∶41，則點C與直線AB的最遠距離是多少?(第十屆美國數學邀請賽試題)

分析：這是一個“形”的問題，若局限于三角形中考慮很難成功，由題可知：C點可看作到兩定點A、B距離之比為常數的動點，若建立直角坐標系，則可求出C點軌跡，

軌跡上的點到AB的最遠距離不難求出，實現了以數解形的目的.解：如圖3建立坐標系，設C(x,y)，則有(x-92)+2+y+2(x+92)+2+y+2=4041化簡整理得：(x-328118)2+y+2=(16409)+2，易知當x=328118時，|y|{max}=16409.

六、數元轉換

數與元是一對矛盾，但在一定條件下可以相互轉換，某些數學問題求解困難處于“疑無路”時，若巧妙將數與元實施轉換，則會很快地“柳暗花明”.

例8 求出所有正整數a，使得二次方程ax+2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個整數根.(第三屆“祖沖之”杯數學競賽).

析解：本題是關于x的二次方程，用求根公式或韋達定理處理較繁，若將主元與常數a實施轉換，則十分方便，因a是正整數，易得：a=2x+12(x+2)+2≥1(x≠-2)，即x+2+2x-8≤0，故-4≤x≤2，所以x=-4,-3,-1,0,1,2，從而有a=1,3,6,10.

七、動靜轉換

動與靜是對立的兩個方面，有時對數學問題中靜止元素實施運動，則可將原問題轉換為數量關系，使求解十分方便.例9 如圖4兩個半圓中，大圓的弦與小圓相切，且AB∥CD,AB=4，求陰影部分面積.

析解：圖4中較難發現兩個半徑與已知弦AB的關系，若將靜止小圓移動，使兩半圓的圓心重合，如圖5，易知兩圖中陰影部分面積不變，則S陰=12π(R+2-r+2)=12π(AB2)+2=2π.

八、式與方程轉換

某些代數式的求值計算難以奏效，若將式的運算轉換為方程的求解，則十分簡捷.

例10 (1996年北京初中聯賽試題)化簡2+3+2-3結果是().

A.6 B.2 C.2 D.6-2

析解：本題直接開方不便，構造方程x=2+3+2-3，則x+2=6,而x>0,∴x=6，故選A.

總之，數學中化歸思想的應用十分廣泛，除了以上幾個方面的轉化，還有實數與虛數的轉化，高次與低次的轉化，無限與有限的轉化，空間向平面的轉化等.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文