構造平行四邊形解題

莊億農

對于有些幾何問題,若能根據題目中的條件和圖形特征,添加適當的輔助線,構造出平行四邊形,然后利用平行四邊形的性質,往往能使問題得到巧妙解決.

一?構造平行四邊形,求角的大小

例1如圖1,六邊形ABCDEF中,CD∥AF,∠D=∠A,AB⊥BC,∠C = 124°,∠E = 80°,求∠AFE的大小.

分析: 由條件CD∥AF和∠D = ∠A,聯想到構造平行四邊形.

解:延長AF?DE交于點Q,延長DC?AB交于點P,如圖2 .因為CD∥AF,所以∠D + ∠Q = 180°.又∠D = ∠A,所以∠A + ∠Q = 180°.所以AP∥QD,所以四邊形AQDP是平行四邊形,所以∠Q = ∠P.又因為∠P = ∠BCD - ∠CBP= 124° - 90° = 34°,所以∠Q = 34°.又∠DEF = 80°,所以∠QEF = 180° - 80° = 100°.所以∠AFE = ∠QEF + ∠Q = 100° + 34° = 134°.

二?構造平行四邊形,證明兩角相等

例2如圖3,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB = DC,試證明∠B = ∠C.

分析: 要說明∠B = ∠C,可過點A作DC的平行線,構造平行四邊形來解決問題.

解:作AE∥DC,交BC于點E,如圖4.因為AD∥BC,所以四邊形AECD是平行四邊形.所以AE = DC.因為AB = DC,所以AB = AE,所以∠B = ∠AEB.因為AE∥DC,所以∠AEB = ∠C.所以∠B = ∠C.

三?構造平行四邊形,證明線段相等

例3如圖5,在RT△ABC中,∠C = 90°,M是AB的中點.AM = AN,MN∥AC.試證明MN = AC.

分析: 由MN∥AC,要證明MN = AC,可聯想到四邊形ACMN是平行四邊形.因此連接CM,判斷四邊形ACMN是平行四邊形即可.

解:連接CM,如圖6.因為在RT△ABC中,∠ACB = 90°,M是AB的中點,所以CM = AM,所以∠MAC = ∠MCA.又因為AM = AN,所以∠AMN = ∠N.因為MN∥AC,所以∠MAC = ∠AMN.兩個等腰三角形中,底角相等,則頂角也相等.故∠NAM = ∠CMA,所以AN∥MC.所以四邊形ACMN是平行四邊形,則MN = AC.

點評:對等腰△AMN和等腰△MAC,各角對應相等,還有公共邊AM,故它們全等.由此也可證得結論.

四?構造平行四邊形,證明線段垂直

例4 在ABCD中,∠A = 60°,E?F分別是AB?CD的中點,且AB = 2AD.試證明BD⊥EF.

分析: 可通過連接DE?BF,構造菱形DEBF,再結合菱形的性質來解決.

解:如圖7,連接DE?BF.因為AD = AB = AE,∠A = 60°,所以△ADE是等邊三角形,所以AD = DE = EB.又DFBE,所以四邊形DEBF是菱形,所以BD⊥EF.

點評:也可自B點作BM⊥AD于M,則易知AM = AB,故BM與BD重合,所以AD⊥BD,從而推出結論.

通過上面幾道例題可以看到,有些復雜的幾何問題,若直接求解比較困難,可嘗試添加合適的輔助線,構造平行四邊形,這樣常常可以找到簡便方法,使問題獲解.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。