平移、旋轉(zhuǎn)幫你忙

莊億農(nóng)

平移、旋轉(zhuǎn)是進行圖形變換的兩種基本方法，它們具有不改變圖形的形狀、大小，僅改變圖形的位置的性質(zhì).在數(shù)學(xué)解題中，利用這些變換，可以使一些看似支離破碎的條件巧妙地聯(lián)系在一起，使問題化煩為簡．現(xiàn)舉例說明．

一、平移線段

例1如圖1，在梯形ABCD中，∠B+∠C=90°，E為AD的中點，F(xiàn)為BC的中點．試說明EF=（BC-AD）．

分析： 可以利用平移，把線段AB移至EM、線段DC移至EN．再利用平行四邊形和平行線及直角三角形性質(zhì)，即可解決問題．

解：過E點作EM∥AB、EN∥CD分別交BC于M、N點，則∠EMN=∠B，∠ENM=∠C，且四邊形ABME和四邊形CDEN是平行四邊形，所以AE=BM，ED=CN．而E為AD中點，所以AE=BM=ED=CN．因為F是BC的中點，所以FB=FC，所以FB-BM=FC-CN，即FM=FN，即F是MN的中點．又因為∠B+∠C=90°，所以∠EMN+∠ENM=90°，則△EMN是直角三角形．所以EF=MN=（BC-AD）．

點評：若條件中沒有相互平行且相等這種關(guān)系，可以利用平移構(gòu)造平行，使有關(guān)條件相對集中，便于解決問題．

二、旋轉(zhuǎn)圖形

例2如圖2，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，四邊形ABCD的面積為8，求線段DE的長．

分析：因為圖中四邊形是不規(guī)則四邊形，所以直接求解不容易，但是題中有AB=BC，∠ABC=90°，故可考慮將△ABE繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到達△CBE1的位置，得四邊形BEDE1為正方形，如圖3，即可解決問題．

解：將△ABE繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到達△CBE1，則易知四邊形BEDE1為正方形，如圖3，顯然有正方形BEDE1的面積=四邊形ABCD的面積=8，即DE2=8，所以DE=2．

點評：若題目條件中有相等且共點的對應(yīng)邊，可考慮利用旋轉(zhuǎn)把圖形中分散的條件相對集中起來，使圖形內(nèi)各條件的聯(lián)系變得更加明顯，方便我們思考問題．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。