內(nèi)含收益率計算方法

　　【摘 要】 本文通過分析內(nèi)含收益率計算方法的凈現(xiàn)值函數(shù)及其方程，通過同解變形并利用逐步求導(dǎo)降階、逐步回溯的辦法最終求得符合要求的結(jié)果；分析了k的取值域及其對有關(guān)函數(shù)值的影響，并討論了多個解的選取問題。
　　【關(guān)鍵詞】 財務(wù)管理； 內(nèi)含收益率法； 內(nèi)含收益率法的解
　　
　　一、內(nèi)含收益率計算方法
　　
　　在有關(guān)資金流量分析等方面，常涉及到應(yīng)用內(nèi)含收益率計算方法來計算內(nèi)含收益率、資金成本率等，那么內(nèi)含收益率計算方法的取值域怎樣？內(nèi)含收益率計算方法的計算結(jié)果是否只有一個解呢？……
　　現(xiàn)假設(shè)有已知資金流系列A1、A2、……、An-1、An，要求其內(nèi)含收益率，除這n個資金流量本身應(yīng)具有流入流出不同流量方向外（以下不再提該條件），另需滿足所有資金流入的現(xiàn)值與所有資金流出的現(xiàn)值相等。即實際上是把這n個資金流按貼現(xiàn)率k換算成現(xiàn)值，如下式所示：
　　g（k）=A1+A2/（1+k）+A3/（1+k）2+……+An-1/（1+k）n-2+An/（1+k）n-1
　　要求內(nèi)含收益率，即求使得g（k）=0的k，那么，如何來求方程g（k）=0的解呢？
　　
　　二、求解方法
　　
　　可考慮先將該方程進行變換，由于（1+k）≠0，且k>-1，k∈（-1，+∞）（k肯定不能等于-1，一般情況下k也不取小于-1，因為這樣會改變各資金流量加項自身的已有正負(fù)符號，且有的項變符號，有的項不變符號，與資金流量原有的方向意義不完全相符。當(dāng)然若其他場合k可以取除-1以外的任何取值，則也可采用本文的求解方法），因此，可在g（k）=0方程的兩邊同乘（1+k）n-1，得如下式所示的方程f（k）=0，該方程與g（k）=0有同解。
　　f（k）=A1（1+k）n-1+A2（1+k）n-2+……+An-1（1+k）+An=0
　　那么，如何來求出f（k）=0高階方程的解呢？一種方法是求出k在其取值域內(nèi)對應(yīng)的“所有”的f（k）值，并判斷是否等于零。這種方法利用計算機求解較方便，但可能運算量較大（經(jīng)檢驗，確實如此）。
　　此處討論另外一種方法——逐步求導(dǎo)降階法，可考慮對f（k）求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，目的是求出各極值點，則有下式：
　　f'（k）=（n-1）A1（1+k）n-2+（n-2）A2（1+k）n-3+……+An-1=0
　　要求解f'（k）=0，這又是一個高階方程，難以求解，是否可以考慮對f'（k）=0再求一階導(dǎo)數(shù)f''（k）并令其等于零，來求出函數(shù)f'（k）=0的極值點呢？事實上是可以的，因為f'（k）=0較f（k）=0已降了一階，而f''（k）=0較f'（k）=0又降了一階，若逐步這樣下去，則會有以下幾式：
　　f''（k）=（n-1）（n-2）A1（1+k）n-3+（n-2）（n-3）A2（1+k）n-4
　　+……+An-2=0
　　……
　　f（n-3）（k）=（n-1）（n-2）·……·3·A1（1+k）2+（n-2）（n-3）·……
　　·2·A2（1+k）+A3=0
　　f（n-2）（k）=（n-1）（n-2）·……·3·2·A1（1+k）+（n-2）（n-3）
　　·……·2·1·A2=0
　　方程f（n-2）（k）=0求解的結(jié)果是：
　　k0=（n-2）（n-3）·……·2·1·A2/[（n-1）（n-2）·……·3·2·A1]-1
　　若將該結(jié)果帶入到f（n-3）（k）=0中來考慮求解該方程，則方程
　　f（n-2）（k）=0的解k0將方程f（n-3）（k）=0中k的取值域（-1，+∞）分為兩部分，（-1，k0）和[k0，+∞），或（-1，k0]和（k0，+∞）。確定了這兩個取值域后，又由于k0點是極值點，因此，函數(shù)f（n-3）（k）在兩個取值域范圍內(nèi)與橫軸最多有兩個交點，只要把交點求出來，所求的交點就是f（n-4）（k）的極值點，這樣逐步下去，可以最終求解出方程f（k）=0的解，而方程f（k）=0的解就是方程g（k）=0的解。
　　
　　三、實例應(yīng)用
　　
　　例1：各時刻點有資金流量A1、A2、A3、A4、A5、A6共6個，則可以求出f （4）（k）=0、f （3）（k）=0、f''（k）=0、f'（k）=0、f（k）=0的解如表1所示，那么，f（k）=0的解有3個，且在3個解中，有兩個是負(fù)值，一個是正值。（表1）
　　
　　表2是驗證f（k）=0的三個解k1、k2、k3也是方程g（k）=0的解。
　　
　　四、分析
　　
　　在上例中，如何來理解這三個解呢？是否這三個解都適合六個資金流量的經(jīng)濟意義呢？為了能夠更清楚k對g（k）、f（k）的影響，可以將k在其取值域范圍內(nèi)對f（k）、g（k）的影響情況列于如表3、表4。
　　通過表3、表4可知，在k的取值域內(nèi)，當(dāng)k∈（-1，0）時，f（k）前面的資金流量被縮小，g（k）后面的資金流量被放大；當(dāng)k∈（0，+∞）時，f（k）前面的資金流量被放大，g（k）后面的資金流量被縮小。
　　
　　五、結(jié)論
　　
　　如何從多個解中選取其中符合實際經(jīng)濟意義的方程的解（k值）呢？這可從k=0時的f（k）、g（k）函數(shù)的結(jié)果入手來進行分析。特別是，當(dāng)k=0時，f（0）=g（0）=A1+A2+……+An-1+An，依據(jù)該式（稱為簡單相加）以及上述分析的結(jié)果，一般情況下，當(dāng)正資金流量總量不等于負(fù)資金流量總量時（指簡單相加），有幾種可能情況，一是正（負(fù)）的資金流量主要數(shù)額在前，負(fù)（正）的資金流量相對較小且在后（即兩個不同方向主要資金流量數(shù)額有明顯的前大后小關(guān)系），則k應(yīng)取負(fù)值，此時應(yīng)檢查k取負(fù)值是否與實際經(jīng)濟意義相符，例如此時可能是虧損等意義，由于后面的資金流量小于前面不同方向的資金流量，因此可通過k取負(fù)值的辦法使調(diào)節(jié)后的兩個不同方向資金流量數(shù)額相等；二是正（負(fù)）的資金流量主要數(shù)額在后，負(fù)（正）的資金流量相對較小且在前（即兩個不同方向主要資金流量數(shù)額有明顯的前小后大關(guān)系），則k應(yīng)取正值，此時應(yīng)檢查k取正值是否與實際經(jīng)濟意義相符，例如此時可能是收益等意義，由于后面的資金流量超過前面不同方向的資金流量的大小，因此可通過k取正值的辦法使調(diào)節(jié)后的兩個不同方向資金流量數(shù)額相等；三是正（負(fù)）的資金流量與負(fù)（正）的資金流量間數(shù)額大小無一定的規(guī)律或規(guī)律不明顯，此時應(yīng)綜合分析，一方面可以參照前述兩種情況所述的判斷原則；另一方面，可依據(jù)經(jīng)濟意義及無風(fēng)險收益率等多種情況來綜合判斷分析。
　　需要指出的是：一般情況下，在f（k）或g（k）中，當(dāng)|k|越小，所得的f（k）與g（k）的結(jié)果受k調(diào)節(jié)的影響就較小。因此，在所得的幾個k值中選取其中之一時，除了考慮k的正負(fù)應(yīng)有其固定的經(jīng)濟意義外，在|k|值的大小問題上，應(yīng)考慮其影響f（k）、g（k）結(jié)果的規(guī)律并與無風(fēng)險收益率等數(shù)據(jù)進行比較分析。●
　　
　　【參考文獻】
　　 [1] 《財務(wù)管理》.財政部注冊會計師考試委員會.東北財經(jīng)出版社，1996年3月.