柳暗花明又一村

　　同樣的教學內(nèi)容，同樣使用了信息技術(shù)，不一樣的上法，不一樣的效果。在本文中，王老師將兩節(jié)課按教學環(huán)節(jié)作對比展示，并進行了精彩的點評。
　　王鵬遠，北大附中數(shù)學高級教師，北京市海淀區(qū)數(shù)學學科帶頭人。郵箱：wangpy01@163.Com
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　　問題的提出
　　
　　當前，信息技術(shù)與學科整合的有效性越來越引起人們的關(guān)注。一來，教師準備這種課需要投入太多的時間和精力；二來，有些整合課的課堂教學質(zhì)量也受到廣泛的質(zhì)疑。有人認為，如果教師花費了大量的時間和精力，教學效果反而不如不使用技術(shù)好，那真是得不償失，又何必非要大力地宣傳和推廣信息技術(shù)與學科教學的整合呢？這個問題促使我們認真思考：當前信息技術(shù)與學科整合有沒有誤區(qū)？如果有，誤區(qū)是什么？如何建立信息技術(shù)與學科整合的理論？怎樣才能把信息技術(shù)有效地整合到日常的教學活動中去？本文試圖從兩個具體教學案例的對比分析說開去，談?wù)剬@些問題的一些想法。本文拋磚引玉，期待更多的學科教師加入到討論中來。
　　兩個教學案例的概述與分析
　　筆者有機會看到某出版社發(fā)行的一個封面標名為“信息技術(shù)與中學數(shù)學有效整合的典型案例——臺球桌面上的角”的教學光盤（包括課堂實錄和專家課后點評），又有機會聽了一節(jié)與此內(nèi)容相似的課。兩節(jié)課教授的是同一內(nèi)容：初中一年級教材中的余角，又都在課堂教學中使用了信息技術(shù)，這就給我們提供了一個很好的研討素材。為了敘述的方便，下稱前者為案例1，后者為案例2，圍繞案例中的各個教學環(huán)節(jié)，逐個展開討論。
　　1.引入
　　案例1：在開始的1分06秒，教師用PPT呈現(xiàn)了7個畫面：“綿延起伏的山峰”、“縱橫交錯的立交橋”（圖1）、“飛流直下的瀑布”、“長江二橋”、“橫跨長江的彩虹”、“剪刀”和“窗欞”，說明我們周圍蘊藏大量的相交線和平行線。
　　隨后，又展示了臺球運動員丁俊輝打臺球的畫面，呈現(xiàn)一個臺球入網(wǎng)的動畫，定格在圖2。其間，教師問學
　　
　　生：“你們打過臺球嗎？”“你們知道打臺球最重要的技巧是什么？”然后對照圖說明：“要想確保臺球碰到桌面邊緣反彈后入洞最重要的技巧是滿足條件∠1=∠2。”之后，屏幕上動態(tài)地呈現(xiàn)出沿臺球桌邊的一條紅線和垂直于這條紅線的直線以及圖中的∠3和∠4。教師提問：“∠1和∠3有什么關(guān)系？”學生回答：“∠1和∠3是互余角。”由此引入本課課題：“這里出現(xiàn)了兩個角的和等于90度的情況，這就是我們今天要研究的問題。”
　　案例2：教師用PPT呈現(xiàn)了比薩斜塔的畫面（圖3），提問學生：“如果斜塔一側(cè)的墻面與地面的夾角是85°，你能求出墻面的另一側(cè)與豎直方向偏離了多少嗎？”隨后，隱藏掉比薩斜塔的畫面只留下圖4的畫面，問學生：“這個問題化成數(shù)學問題就是要研究圖中∠1和∠2的關(guān)系，誰能說出這兩個角的關(guān)系？”學生回答：“這兩個角的和是直角。”教師：“這種情況其實在我們身邊就有。”教師拿出一張紙片，用剪刀從一個角的頂點出發(fā)剪成兩部分給學生看。教師出示三角板，讓學生對照自己文具盒中的三角尺，找出和為直角的兩個角，由此引入課題：“這就是我們今天要研究的互余的角。”
　　
　　
　　案例分析
　　導入是在課堂教學活動開始的教學行為方式，是教學活動的重要環(huán)節(jié)。精彩的導入可以為整節(jié)課的教學打下良好的基礎(chǔ)，一開場就抓住人心。好的導入應(yīng)該圍繞主題，又有新意，簡潔明快。
　　比較這兩個案例。案例1在開始的1分06秒呈現(xiàn)的7個畫面不僅不夠清晰，而且有科學性錯誤。實際上， 綿延起伏的山峰、縱橫交錯的立交橋、飛流直下的瀑布既不是相交線也不是平行線。接下來的丁俊輝打臺球的畫面及模擬臺球運動的動畫與本節(jié)要討論的余角概念的聯(lián)系也并不緊密。
　　案例2則巧妙地設(shè)置了一個問題情境，促使學生思考：“斜塔一側(cè)的墻面與地面的夾角是85°，墻面的另一側(cè)與豎直方向偏離了多少？”自然引起了學生對兩個有這樣特定關(guān)系的角的關(guān)注，研究余角的必要性也隱含其中了。
　　2.余角概念的呈現(xiàn)
　　案例1：教師在引入課題后，用PPT呈現(xiàn)互為余角的概念(圖5)，然后讓學生對照屏幕齊聲朗讀。教師隨后問：“請同學思考一下，‘如果兩個角的和是直角’指的是幾個角的關(guān)系？是數(shù)量關(guān)系還是位置關(guān)系？”在學生齊答后，教師進一步問：“我這里有一個角是30°，還有一個角是30°，還有一個角是30°，能說這三個角互余嗎？”學生回答：“不能。因為互余是指兩個角的關(guān)系。”教師肯定后，繼續(xù)邊作手勢邊提問：“如果我這里有一個角是30°，那里有一個角是60°，它們互余嗎？為什么？”進一步強調(diào)兩個角是否互余和它們的位置無關(guān)。
　　
　　案例2：教師讓學生結(jié)合引入環(huán)節(jié)的實例說出什么叫兩個角互為余角，然后板書互為余角的概念，學生則在筆記本上記筆記。教師問：“請同學思考這樣一個問題，余角是直角嗎？”在學生討論的基礎(chǔ)上，教師指出，直角說的是一個角，而互余是指兩個角的關(guān)系：它們的和為直角，當兩個角存在互余的關(guān)系時，其中一個角是另外一個角的余角。例如30°角是60°角的余角，反過來，60°角也是30°角的余角。單說某一個角是余角是沒有意義的。
　　案例分析
　　兩個案例概念呈現(xiàn)前的鋪墊，概念的呈現(xiàn)方式以及概念呈現(xiàn)后教師引導學生的關(guān)注點都有所不同。
　　案例1在概念呈現(xiàn)前的鋪墊是PPT呈現(xiàn)的臺球桌面上的∠1和∠3， ∠2與∠4(圖2)，案例2除了PPT呈現(xiàn)的比薩斜塔以及由此抽象出來的∠1和∠2的畫面(圖3，4)外，還有教師通過剪紙得到的互余的兩個角、教師手里的三角板、學生手里的三角尺中的一對角30°和60°，45°和45°。案例2在余角概念正式呈現(xiàn)之前給學生的感性材料更為豐富具體。
　　案例1是用PPT呈現(xiàn)了余角的概念，然后讓學生對照PPT齊聲朗讀， 案例2則是讓學生根據(jù)前面提供的材料說出余角的概念，然后教師在黑板上板書，學生記筆記。兩者比較起來后者學生活動得更充分一些。用PPT代替板書效果不一定好。
　　概念呈現(xiàn)后，案例1中教師強調(diào)了兩點，一是余角是兩個角的和是90°，而不是指三個角的和；余角是兩個角的數(shù)量關(guān)系而不是位置關(guān)系。案例2中教師則引導學生關(guān)注直角的概念與余角概念的區(qū)別與聯(lián)系。從多年的教學實踐看，案例2抓住了學生初學時容易混淆的概念。
　　3.余角概念的深入理解與練習
　　案例1 (包括四個環(huán)節(jié))：
　　⑴師生問答：如果∠1是45°，那么，它的余角∠2是幾度？(45°)換一個更難的問題，如果∠A是x°，它的余角是多少度？(90°-x°)
　　⑵教師提問：“如果一個角的余角比它本身大30°，這個角是多大？”并請一位學生回答，教師根據(jù)回答在黑板上列方程并解方程。之后，教師小結(jié)：“雖然說起來是幾何題目，但是代數(shù)里面的方程思想還是完全可以用得上的，這是一個很好的方法，請同學們平時注意使用。”
　　⑶教師提問：“請大家想想看，如果我這里有一個角是30°，這里有一個角和它相等，那么這兩個角的余角的大小關(guān)系怎樣？”學生回答：“相等。”教師用一句話總結(jié)：“同角或等角的余角相等。”同時在PPT上顯示出這段文字。
　　⑷教師拿出一張長方形的紙?zhí)岢鰡栴}：“能否通過折紙得到互余的角？”學生進行折紙，然后舉手，教師指定一位向全班學生演示折紙的結(jié)果。教師點評。
　　案例2(包括四個環(huán)節(jié))：
　　
　　⑴找朋友的練習。教師提問：“兩個角互余是指的它們之間的一種關(guān)系，正像兩個朋友關(guān)系一樣，現(xiàn)在我們做一個找“朋友”的練習。具體做法是，我說出一個角，請你馬上說出它的‘朋友’余角來，看誰找得快。”隨后，教師說出幾個角：20°，30°，36°，54°，72°，18°，x°，讓7個同學說出它們的余角，并板書∠A的余角為90°－∠A。
　　⑵用三角板畫出一個已知角的余角。教師讓全班學生在紙上畫出一個已知角，然后畫出它的余角。
　　
　　⑶訂正答案。教師先用計算機現(xiàn)場畫圖，作BD⊥BC (圖6)。 然后，解釋說：“∠ABC是已知角，有的同學是這么做的，作BD⊥BC，得到∠ABD。顯然，這是∠ABC的余角。請想一想還有沒有別的畫法？”隨后，教師根據(jù)學生的回答，現(xiàn)場作BE⊥BA。接著，教師用鼠標選擇點A，拖動改變∠ABC的大小，請學生觀察∠ABD和∠EBC的關(guān)系，把觀察到的結(jié)果敘述出來，并解釋得到這個結(jié)果的理由。學生回答：“∠ABD=∠EBC，因為它們都是∠ABC的余角，因此都等于90°－∠ABC。這個結(jié)果可以敘述為同一個角的余角相等。”教師肯定學生的回答，并把“同角或等角的余角相等”寫在黑板上。
　　⑷討論下面的題目。
　　教師現(xiàn)場畫圖7，標識出直角，用鼠標選擇點C拖動，保持圖中的垂直關(guān)系不變，提問：“圖中有沒有互余的兩個角？你怎么知道它們之間是互余關(guān)系？”然后，在上圖的基礎(chǔ)上作兩條AB的垂線（如圖8），讓學生指出其中互余的角和相等的角，并說明理由。
　　
　　案例分析
　　在這一環(huán)節(jié)，著重對數(shù)學活動的價值和技術(shù)在其中起的作用進行分析。作為幾何課當然應(yīng)該關(guān)注學生對圖形的認識，提高作圖能力、對圖形的洞察力、數(shù)學表達能力和初步的邏輯推理能力，為后續(xù)學習打好基礎(chǔ)。這是我們設(shè)計課堂數(shù)學活動應(yīng)該考慮的。
　　案例1在這個環(huán)節(jié)中設(shè)置的前兩個問題都是關(guān)于互為余角的計算，對于從圖形本身加深對余角的深入理解似乎顯得不夠。問題3從一個特例就得出等角或同角的余角相等，數(shù)學推理過程被削弱了。而第四個活動——通過折紙得出互余的角，沒有多大的思維價值。
　　
　　案例2設(shè)計的第一個問題涉及的也是關(guān)于互為余角的計算，因為要求學生快速回答，有利于學生強化余角概念的理解。第二個題目是作圖題，讓學生通過動手操作深化對余角概念的理解，又為同角的余角相等提供了發(fā)現(xiàn)的素材。教師用計算機畫圖訂正答案時，利用鼠標改變∠ABC的大小，動態(tài)圖形中的不變關(guān)系揭示了“同角的余角相等”這一事實，比靜態(tài)圖形更有啟發(fā)性。而要解決最后一個問題，光憑觀察就不夠了，還需要簡單的邏輯推理。在圖7基礎(chǔ)上發(fā)展出的圖8，對于提高學生對圖形的洞察能力、分析能力、數(shù)學語言表達能力和邏輯推理能力是非常有益的。
　　
　　兩個案例留給人們的思考
　　
　　在分析了兩個教學案例之后，引發(fā)我們?nèi)フJ真思考如何把信息技術(shù)有效整合到學科教學活動中的問題。
　　1.關(guān)于教學設(shè)計的理念——學科本位還是技術(shù)本位
　　影響課堂教學質(zhì)量的關(guān)鍵是教學設(shè)計的理念，是從具體的學科教學需求出發(fā)還是從一般的信息技術(shù)理念出發(fā)設(shè)計教學？或者說是學科本位還是技術(shù)本位？這是當前需要正視的問題。
　　看來，案例1似乎更多地傾向后者。這可以由案例1課后的專家點評看出這一點。專家是這樣肯定案例1的： 利用媒體讓學生經(jīng)歷觀察、操作、推理、交流等過程，進一步發(fā)展了空間觀念推理能力和表達能力。在具體課件提供的情境中了解余角的概念，并用于解決實際問題。
　　由此可以看出媒體、課件是專家關(guān)注的重點。或許也正是基于這點，案例1在本節(jié)課中大量圍繞著PPT進行設(shè)計，如引入環(huán)節(jié)的7個畫面，呈現(xiàn)余角、補角的概念，甚至課堂練習題目……
　　從數(shù)學學科出發(fā)進行教學設(shè)計則是首先確定本節(jié)課的學科教學目標，然后圍繞這個教學目標出發(fā)，全面地考慮情境的創(chuàng)設(shè)、概念的引入、概念的呈現(xiàn)方式、概念內(nèi)涵的挖掘、問題的設(shè)計、例題與練習的編配與處理、課堂學生活動的設(shè)計與組織、技術(shù)的恰當使用，等等。 技術(shù)的使用不過是整個教學設(shè)計中的一部分，媒體和課件無非是實現(xiàn)學科教學目標的工具而已，該用的時候才用。技術(shù)應(yīng)該是自然而然地融入教學之中的。其實，學生手里的三角板最直接不過地給出了互為余角的實例，而不一定事事都依賴于課件提供的情境。從案例1看出，過分依賴PPT，教師上幾何課連三角板都廢棄了，用手勢比劃30°和60°; 學生動手記筆記與作圖操作的練習不見了，數(shù)學思維活動不如案例2深入。
　　綜上，我們認為，信息技術(shù)與數(shù)學課程的有效整合課應(yīng)該是應(yīng)用信息技術(shù)有效地促成數(shù)學學科教學目標實現(xiàn)的數(shù)學課，技術(shù)應(yīng)該呈現(xiàn)用傳統(tǒng)手段難以呈現(xiàn)的內(nèi)容，應(yīng)該和傳統(tǒng)教學手段相配合，有利于啟發(fā)學生積極的數(shù)學思考而不是削弱這種思考。
　　2.技術(shù)與教師的關(guān)系——誰是影響課堂教學質(zhì)量的決定因素
　　這兩個案例促使我們再次思考技術(shù)與教師的關(guān)系。有了信息技術(shù)這樣一個強有力的工具支持，教師的教學無疑有了新幫手。工具多了，環(huán)境變了，教師必須考慮在新的教學環(huán)境下如何創(chuàng)設(shè)更加生動活潑的激活學生積極思維的數(shù)學課堂。然而，面對信息技術(shù)支持的教學環(huán)境，許多教師卻找不到感覺了。這個新幫手不僅沒有給他們帶來方便，反而加重了負擔，準備一節(jié)整合課付出的時間和精力是過去的好幾倍，而且有時這個幫手還在幫倒忙!那么，面對新的教學環(huán)境，教師應(yīng)該如何分配自己的精力呢？
　　從這兩個案例看，教師還是應(yīng)該把精力優(yōu)先放在對學科教學的把握上。首先，要深入研究教材。譬如，余角概念的提出，它與前后知識的關(guān)聯(lián)，如何通過這節(jié)課的教學活動發(fā)展學生的空間觀念，如何提高學生的歸納概括能力、文字語言符號語言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)換能力、對于幾何圖形的洞察能力、作圖能力、初步的邏輯推理能力，然后再考慮挖掘技術(shù)的潛力，恰當?shù)厥褂眉夹g(shù)。其次，要深入研究學生。譬如，學生學習這段內(nèi)容可能遇到什么困難，容易出現(xiàn)哪些錯誤，如何貫穿啟發(fā)式教學等等。在此之前，學生已經(jīng)學習了直角，而余角的概念涉及了兩個角的和是直角，所以，從學生認知發(fā)展看，需要解決的是分清單一的直角和互余兩角的關(guān)系兩者的區(qū)別，而不是分清“兩個角的和”與“三個角的和”的區(qū)別。建立互為余角的概念應(yīng)該有豐富的圖形支撐，而不是滿足于對余角概念的字面的分析上。提供豐富的圖形(如圖6，7，8)不僅可以幫助學生深入理解本節(jié)課的基礎(chǔ)知識，還為學生的后續(xù)學習做好鋪墊。
　　由此看來，無論技術(shù)怎樣發(fā)展，教師還是影響課堂教學質(zhì)量的關(guān)鍵因素。教師的工作還是要研究學科教學內(nèi)容，研究教材，研究學生，研究教法。所不同的是需要在信息技術(shù)支撐的環(huán)境中重新審視技術(shù)對教學內(nèi)容、呈現(xiàn)方式、教學觀念、教學方法的影響，挖掘技術(shù)的潛力，力求教學的最優(yōu)化。
　　3.普適通用的技術(shù)與智能教育平臺——數(shù)學教學需要怎樣的技術(shù)
　　我們思考的另一個問題是在本節(jié)課中信息技術(shù)使用的教學價值。筆者以為，有兩處值得一提。一是余角概念的引入環(huán)節(jié)，由比薩斜塔的畫面轉(zhuǎn)換到隱去斜塔只留下已知85°的角和要求的角，之后通過動畫將兩個角平移顯示出它們的和為直角，這個場景生動地反映了從一個實際問題抽象成一個數(shù)學問題的過程。再一個是動態(tài)幾何技術(shù)的運用。通過動態(tài)圖形中的不變關(guān)系反映出一個幾