圖形變換和運動的共形幾何代數表示方法
2008-12-31 00:00:00邢燕檀結慶
計算機應用研究 2008年9期
摘 要：共形幾何代數是一種新的幾何表示和幾何計算工具，它具有直觀、簡潔、高效、統(tǒng)一、雅致等特性。在簡單介紹外積、內積和幾何積等基本概念之后，重點論述了共形幾何代數在圖形反射、旋轉、平移等變換和剛體運動、螺旋運動等方面的描述和計算方法，并給出了實驗示例。共形幾何代數在計算機圖形學、計算機視覺和機器人學等領域將有廣泛應用。
關鍵詞：共形幾何代數; 幾何積; 圖形變換; 剛體運動; 螺旋運動
中圖分類號：TP391 文獻標志碼：A
文章編號：10013695(2008)09284203
CGA representation of graphic transformations and motions
XING Yana，b， TAN Jieqinga，b
(a.School of Science， b.School of Computer Information， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China)
Abstract:Conformal geometric algebra (CGA) is a kind of new geometric representation and geometric computation tool， and it has properties of geometric intuitiveness， compactness， high efficiency， unification and elegance. After introducing the basic knowledge of geometric algebra such as outer product， inner product and geometric product， this paperfocused on the CGA description and computation with graphic reflection， rotation， translation， rigid body motion and screw motion， and gave the experimental demonstrations. CGA promises a bright future in a variety of application areas of computer graphics， computer vision， robotics and so on.
Key words：conformal geometric algebra; geometric product; graphic transformation; rigid body motion; screw motion
三維圖形的幾何變換是計算機圖形學的重要基本技術。各類圖形應用軟件的開發(fā)不可避免地需要經常處理一些典型的圖形變換，如圖形的平移、反射、旋轉和縮放等。機械手和機器人等研究的廣泛興起，也促使人們尋求更有效的圖形變換方法。這些圖形變換的經典方法一般都是通過變換矩陣來實現(xiàn)，而四元數方法是比較新穎的方法[1，2]。本文將介紹的是與四元數有密切聯(lián)系的但卻是更加通用的簡潔統(tǒng)一的共形幾何代數方法[3，4]。
1 共形幾何代數
1.1 簡介
1997年，共形幾何代數由中國科學院數學與系統(tǒng)科學研究院的李洪波研究員主創(chuàng)。它建立了經典幾何統(tǒng)一的和簡潔的齊次代數框架，即以簡明的方式統(tǒng)一表述所有的初等幾何，包括歐氏幾何、雙曲（非歐）幾何、球幾何、投影幾何、仿射幾何等，在幾何建模與計算方面表現(xiàn)出極大的優(yōu)勢。近年來，它在微分幾何、理論物理、經典分析等方面取得了輝煌的成就，是現(xiàn)代數學和理論物理的一個核心工具，并在現(xiàn)代科技的各個領域，如計算機圖形學和動畫、計算機視覺和機器人學等方面有著廣泛的應用。
1.2 幾何代數的積
12.1 外積
外積用∧表示，有如下性質：
反對稱性 a∧b=-b∧a
線性a∧(b+c)=a∧b+a∧c
結合性 a∧(b∧c)=(a∧b)∧c
可見，平行的向量外積為0：a∧a=-a∧a=0。
外積主要用于幾何對象的構建和求交。例如兩個向量的外積是一個二向量（平面量），即這兩個向量張成的平面內的一個有方向的面積元素；三個向量的外積是一個三向量（體向量）。
12.2 內積
兩個向量的內積與向量的點積（標量積）相同。互相垂直的向量內積為0。在幾何代數中，不僅僅向量能做內積，二向量、三向量等多向量均能做內積。不同級別的對象做內積的結果是位于高維空間中的垂直于低維對象的對象。因此，內積運算可以降級，如向量和平面量的內積是向量。
向量與平面量的內積公式[5]：
a×（b∧c)=(a×b)c-(a×c)b(1)
既然(a×b)和(a×c)是標量，可見向量和平面量的內積是一個向量，降了1級。
令A〈k〉=a1∧a2∧a3∧…∧ak，式(1)可以推廣為
x×A〈k〉=x×(a1∧a2∧a3∧…∧ak)=
(x×a1)(a2∧a3∧a4∧…∧ak)-
(x×a2)(a1∧a3∧a4∧…∧ak)+
(x×a3)(a1∧a2∧a4∧…∧ak)-…=
∑ki=1(-1)(i+1)(x×ai)[A〈k〉＼ai](k≥1)
其中：x是向量；k≥1；[A〈k〉＼ai]表示A〈k〉中缺少ai項。可見，向量和k-向量的內積是k-1級向量。
二向量與A〈k〉的內積公式如下：
內積結果是k-2級元素，降了2級。更一般地，若令B〈l〉=b1∧b2
內積結果是l-k級元素，降了k級。
內積可用來計算角度和距離。
123 幾何積
幾何積是外積與內積的組合。對于向量a和b，幾何積ab被定義為ab=a×b+a∧b。
幾何積滿足結合率和分配率：
a(bc)=(ab)c=abca(b+c)=ab+ac
可以推得 a×b=1/2(ab+ba)
a∧b=1/2(ab-ba)
任何向量的平方是標量：
a2=aa=a×a+a∧a0=a×a
不僅僅向量定義了幾何積，各種多向量（如二向量、三向量等）也同樣可以求幾何積。
幾何積有一個重要的屬性，即它是可逆的。一個對象A的逆A-1滿足AA-1=1。
所以向量a的逆是a-1=a/(a×a)，因為a(a/(a×a))=(a×a)/(a×a)=1。
正因為幾何積是可逆的，所以被幾何對象除是可能的。幾何積是一個功能強大的運算，它能簡單地描述變換。
13 五維共形幾何代數
三維歐氏幾何代數有三個歐氏基向量e1，e2，e3。這些基向量的線性組合能被解釋成三維向量或三維點。定義I3=e1e2e3。
I3是一個有方向大小為1的體積元素，其平方I23=-1，它被稱為歐氏偽標量。
四維投影幾何代數增加了表示三維原點的基e0，將歐氏空間中的非奇次點x=x1e1+x2e2+x3e3通過X=x+e0轉換成奇次點。基于這種映射，原點被映射到e0。投影幾何代數是共形幾何代數的一部分。
五維共形幾何代數增加兩個新的基e0和e∞，e0表示三維原點，e∞表示無窮遠點。
這兩個新的基是空向量 e20=e2∞=0
它們的內積是 e0×e∞=-1
它們的幾何積是e0e∞=e0×e∞+e0∧e∞=-1+e0∧e∞或e∞e0=e∞×e0+e∞∧e0=-1-e0∧e∞
共形幾何代數可以容易地表示大量的幾何實體，即點、點對、線、圓、面、球，它們均有兩種互為對偶的代數表示[5]。共形幾何代數能夠容易地處理共形變換（角度為不變量）[3，4，6]。
2 圖形的變換和運動及實驗示例
共形幾何代數中，變換和運動很容易被描述。一個對象o的各種變換均可借助下面的幾何積來實現(xiàn)：
otransformed=VoV
其中：V通常是規(guī)格化（即模為1）的變換算子，常被稱為versor，可以表示反射算子、旋轉算子或平移算子；V表示V的倒轉。運算符~表示簡單地倒轉操作對象中所有向量的次序，如A=a1a2…ak，則A=akak-1…a1。
2.1 反射
令n是任一單位向量（｜n｜=1），對象o關于n的反射為oreflected=non=non。
當反射軸n是向量，對象o是向量a時，a可分解為a=a‖+a⊥。其中：a‖是a平行于n的分量；a⊥是a垂直于n的分量，則可推導
nan=n(an)=n(a×n+a∧n)=n(a×n)+n(a∧n)=n(a×n)+n×(a∧n)+n∧(a∧n)
由于(a×n)是標量，有n(a×n)=(a×n)n。由式(1)，n×(a∧n)=(n×a)n-(n×n)1a=(a×n)n-a；而n∧(a∧n)=-n∧(n∧a)=-(n∧n)0∧a=0，所以
nan=n(a×n)+n×(a∧n)+n∧(a∧n)=2(a×n)n-a=2｜a‖｜n-a=2a‖-(a‖+a⊥)=a‖-a⊥
由圖1可見，nan是向量a關于軸n的反射向量。
不僅向量可以關于反射軸作反射（圖2），作反射操作的對象o還可以是任意多向量。圖3中給出了一個平面量A關于反射軸n的反射示例。
進一步推廣，對象o不僅可以關于反射軸（向量）作反射操作，還可以關于反射面（二向量）甚至任意多向量作反射操作。圖4給出了一向量a在平面量N上的反射示例。
2.2 旋轉
幾何對象o的旋轉可借助以下運算實現(xiàn)：
這里R=e-/2L稱為轉子（轉動算子）。其中：L表示轉軸，由一個規(guī)格化的二向量表示（轉軸是二向量所在平面的法線）；是旋轉角。
類似于復數的歐拉公式，R也能被記做R=cos(/2)-L sin(/2)。
與反射操作類似，一個轉子不僅可以轉動向量，還可以轉動任意多向量（二、三向量等）。圖5和6給出了同一轉子R轉動向量v和球S（三向量）的示例。其中旋轉角取60°，所以連續(xù)六次旋轉，向量和球均回到原始位置。
23 平移
在共形幾何代數中，平移可以借助平移算子T用下式運算實現(xiàn)otranslated=ToT。
一個向量，表示平移的方向和長度，稱之為平移向量。
T也可以記做T=1-1/2te∞
因為由泰勒級數有T=e-1/2te∞=1+(-1/2te∞)/1！+(-1/2te∞)2/2！+(-1/2te
又（e∞)2=0，所以T=1-1/2te∞。
圖7是球S的平移示意圖。
24 剛體運動
三維空間中的運動既包括旋轉也包括平移。在共形幾何代數中，剛體運動由運動算子M實現(xiàn)：M=RT。其中：R是轉動算子，T是平移算子。
對象o的剛體運動被描述為origid_body_motion=MoM。
圖8演示了球S的剛體運動。其中：t是平移向量；當然平移算子T=1-1/2te∞；R是轉子。可見，剛體運動可被分解為兩步進行，球S先在平移算子T作用下平移，得到被平移的球TranslatedS，然后球TranslatedS再在轉子R作用下旋轉，到達最終想要的剛體運動位置——球RotTranS所在位置。
一般來說，先平移后旋轉M=RT即先旋轉后平移M=TR的剛體運動效果不同。圖9是對比圖示例。其中RotTranS是球S先平移（到TranslatedS），再繞綠色轉軸旋轉60°所得到的球；而TranRotS是球S先繞綠色轉軸旋轉60°（到RotatedS），再在平移向量t作用下平移所得到的球。很明顯，這是兩個不同的運動。
剛體運動中還有一類比較特殊的運動，它的平移是沿著旋轉軸方向進行的，這類剛體運動被稱為螺旋運動。
圖10給出了螺旋運動的示例。
由圖可見，螺旋運動先平移后旋轉和先旋轉后平移效果相同。螺旋運動非常適合運動插值。
3 結束語
上述描述圖形變換和運動的方法——共形幾何代數方法，在應用中體現(xiàn)出通用、靈活、簡捷等特點，功能強大，應能在計算機圖形學、計算機視覺和機器人學等方面發(fā)揮很大作用。共形幾何代數這種新的幾何表示和計算工具，實現(xiàn)了幾何語言直接進行幾何計算（脫離坐標），對幾何對象的算法穩(wěn)定、簡潔、快速、高效，為某些高新技術幾何問題的解決提供了新的數學工具。
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