例談“△”在平面解析幾何中的應用

【摘要】 本文詳細講解了“△”在平面解析幾何中的應用方法。

【關鍵詞】 平面解析幾何；教學方法

【中圖分類號】 G633.65

【文獻標識碼】 B

【文章編號】 1005-1074(2008)08-0227-01

如果在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)、系數a、b、c都是實數中，b2－4ac叫做這個方程的根的判別式，用希臘字母“△”表示，即：△＝b2－4ac。

①當△＝b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當△＝b2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數根；③當△＝b2－4ac＜0時，方程有兩個共軛虛數根；這就是著名的一元二次方程的根的判別式，下面舉例予以說明。

例1：當k為何值時，方程y＝x－k和曲線x2＋y2＝16有交點？無交點？

分析：要使方程y＝x－k和曲線x2＋y2＝16有無交點，只要求它們的方程聯立所構成的方程組有無實數解。即利用代入消元法得到一個關于x、y的一元二次方程。由△≥0求出有交點時k的取值范圍，△＜0求出無交點時k的取值范圍。

解：x2＋y2＝16①

y＝x－k②

由②得：x＝y＋k③

將③式x＝y＋k代入①式x2＋y2＝16

得：（y＋k）2＋y2＝16

即：2y2＋2ky＋k2－16＝0

∵△＝（2k）2－8（k2－16）＝32－k2

∴當△≥0時，即32－k2≥0，解得﹣4Г2≤ k≤4Г2

當△＜0時，即32－k2＜0，解得k＜﹣4Г2或k＞4Г2

∴當﹣4Г2≤ k≤4Г2時，它們有交點

當k＜﹣4Г2或k＞4Г2 時，它們沒有交點。

例2：證明：當k＝p/2b時，直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px相切。

分析：因為直線與拋物線相切，所以直線與拋物線只有一個交點，只要能證明到△＝0即可。

證明：解方程組： y＝kx＋b①

y2＝2px②

把①式代入②式，得k2x2＋2（kb－p）x＋b2＝0③

△＝4（kb－p）2－4 k2b2＝4p（p－2kb）④

把k＝p/2b代入④式，得△＝0

即：方程③有兩個相等的實數根，也就是直線與拋物線的兩個公共點重合，所以直線與拋物線相切。

例3：已知橢圓的方程為5x2＋y2＝5，求已知斜率是2的切線方程。

分析：因為是切線，所以曲線與直線只有一個交點，相應的方程組只有一組實數解，即二次方程的判別式恒等于0。

解：設斜率是2的切線方程為y＝2x＋k，且有方程組：

設斜率是2的切線方程為y＝2x＋k，且有方程組：

5x2＋y2＝5①

y＝2x＋k②

把②式代入①式，得9 x2＋4kx＋（k2－5）＝0，

因為直線與橢圓相切，所以△＝16 k2－36（k2－5）＝0，

即：k2－9＝0所以：k＝±3

因此所求切線方程是2x－y＋3＝0和2x－y－3＝0

例4：自點A（－3，3）發出的光線L射到x軸上，被x軸反射，過反射光線所在直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線L所在的直線方程。

分析：因為過點A（－3，3）的光線L被x軸反射后的反射光線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0即（x－2）2＋（y－2）2＝1相切，所以光線L應與圓（x－2）2＋（y－2）2＝1關于x軸對稱的圓

（x－2）2＋（y＋2）2＝1相切。

解：因為圓（x－2）2＋（y－2）2＝1關于x軸對稱的圓的方程為（x－2）2＋（y＋2）2＝1。

設所求的直線方程為y－3＝k（x＋3），

解方程組：

y＝k（x＋3）＋3①

（x－2）2＋（y＋2）2＝1②

把①式代入②式，得：

（1＋k2）x2＋（6 k2＋10k－4）x＋（9k2＋30k＋28）＝0

因為直線與圓相切，所以方程有唯一解。

所以△＝（6 k2＋10k－4）－4（1＋k2）（9k2＋30k＋28）＝0

解得△＝24 k2＋50k＋24＝0

∴ k1＝﹣3/4，k2＝﹣4/3

所以：所求的直線方程是4x＋3y＋3＝0或4x＋3y－3＝0。

綜合上述，一元二次方程根的判別式“△”不僅在代數中應用廣泛，在幾何中也占有相當重要的位置，特別是在解析幾何中應用得最多，這是因為解析幾何是用代數的方法解幾何題，所以老師在教學中經常有意加強對學生這方面的訓練。

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