歐拉的遺產問題

歐拉(Leoard Euler，1707～1783)是著名的數學家、物理學家、天文學家。生于瑞士的巴塞爾。他的父親對數學頗有研究，是歐拉的第一個數學教師。歐拉從19歲起開始寫作，直到76歲。歐拉不僅對高深的數學、物理學和天文學造詣極高，而且對代數應用題也很重視，他認為這些古老的問題在數學發展史中起著重大作用，他并不認為解這類初等數學問題是有損尊嚴的事。因此他在他的名著《代數基礎》中就搜集了很多生活上的趣題，其中有這樣一道題目：

有一位父親，臨終時囑咐他的兒子這樣來分他的財產：第一個兒子分得100克朗和剩下財產的1/10；第二個兒子分得200克朗和剩下財產的1/10；第三個兒子分得300克朗和剩下財產的1/10；第四個兒子分得400克朗和剩下財產的1/10……按這種方法一直分下去，最后，每一個兒子所得財產一樣多。問：這位父親共有幾個兒子?每個兒子分得多少財產?這位父親共留下了多少財產?

同學們不要被這么長的題目所嚇壞，其實只要抓住題中的關鍵所在，從后往前推算，并運用分數應用題的有關知識，就可迎刃而解了。

我們不妨設這位父親共有n個兒子，最后一個兒子為第n個兒子，則倒數第二個就是第(n-1)個兒子。通過分析可知：

第一個兒子分得的財產=100×1+剩余財產的1/10；

第二個兒子分得的財產=100×2+剩余財產的1/10；

第三個兒子分得的財產=100×3+剩余財產的1/10；

第(n-1)個兒子分得的財產=100×(n-1)+剩余財產的1/10；

第n個兒子分得的財產為100n。

因為每個兒子所分得的財產數相等，即100×(n-1)+剩余財產的1/10=100n，所以第n-1次剩余財產的1/10就是100n-100×(n-1)=100克朗。

那么，剩余的財產就為100÷1/10=1000克朗，最后一個兒子分得：1000-100=900克朗。從而得出，這位父親有(900÷100)個兒子，共留下財產900×9=8100克朗。

如果用方程來解，則可設總遺產為x克朗。依據題意，老大得錢(x-100)×1/10+100，老二得錢[(x-100)×9/10-200]×1/10+200，因為每個兒子分得一樣多，所以(x-100)×1/10+100=[(x-100)×9/10-200]×1/10+200

解得x=8100(克朗)

所以，每個兒子得錢900克朗，因此可以知道有兒子9個。

上面介紹了歐拉的遺產問題及其解法。下面對歐拉的遺產問題進行改編。

改編1：有一位父親，臨終時囑咐他的兒子這樣來分他的財產：第一個兒子分得全部財產的1/10和100克朗；第二個兒子分得剩下財產1/10的和200克朗；第三個兒子分得剩下財產的1/10和300克朗；第四個兒子分得剩下財產的1/10和400克朗……按這種方法一直分下去，最后，每一個兒子所得財產一樣多。問：這位父親共有幾個兒子?每個兒子分得多少財產?這位父親共留下了多少財產?

改編2：有一位父親，臨終時囑咐他的兒子這樣來分他的財產：第一個兒子分得100克朗和剩下財產的1/10后再分100克朗；第二個兒子分得200克朗和剩下財產的1/10后再分200克朗；第三個兒子分得300克朗和剩下財產的1/10后再分300克朗；第四個兒子分得400克朗和剩下財產的1/10后再分400克朗……按這種方法一直分下去，最后，每一個兒子所得財產一樣多。問：這位父親共有幾個兒子?每個兒子分得多少財產?這位父親共留下了多少財產?

改編的遺產問題留給同學們自己思考解答，方法與原問題差不多，列一元一次方程就能解答。

(參考答案：改編1：這位父親共留下了9000克朗財產，每個兒子得錢1000，因此可以知道有兒子9個。改編2：這位父親共留下了17100克朗財產，每個兒子得錢1900，因此可以知道有兒子9個。)