“牛吃草”問題解題例舉

英國大科學(xué)家牛頓曾經(jīng)出過一道饒有趣味的題目，這就是著名的“牛吃草”問題，又叫“牛頓問題”。什么是牛頓問題呢?下面列舉幾例，說明這類問題的一些題型和解法。

例1牧場(chǎng)上長滿牧草，每天牧草都勻速生長，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。那么，供25頭牛吃幾天?

分析與解答：首先，我們要清楚題中兩個(gè)量是固定不變的：“草地上原有的草量”和“草的生長速度”。而這兩個(gè)不變量題目中都沒有直接告訴我們，因此，求出這兩個(gè)不變量便是解題的關(guān)鍵。一般說來，解答這類應(yīng)用題可分成以下幾步：

第一步：通過比較兩種情況，求出牧草的生長速度。

第一種情況：10頭牛吃20天，其吃了10×20=200(頭/天)的草量。

第二種情況：15頭牛吃10天，共吃了15×10=150(頭/天)的革量。

思考：為什么同一片草地，兩種情況吃的總草量會(huì)不相等呢?這是因?yàn)槌缘臅r(shí)間不一樣。事實(shí)上，第一種情況：200頭/天的草量=草地上原有的草量+20天里新長出來的草量。

同樣，第二種情況：150頭/天的草量=草地上原有的草量+10天早新長出來的草量。

通過比較，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩種情況的總草量與“草地上原有的草量”無關(guān)，與吃的時(shí)間有關(guān)系。因此，我們就能求出“草的生長速度”這一十分關(guān)鍵的量：(200－150)÷(20－10)=5(頭/天)。

第二步：求出草地上原有的草量。

既然牛吃的草可以分成兩部分，那么只要用“一共吃的草量”減去“新長出來的草量”就能求出“草地上原有的草量”，列式為200－5×20=100(頭/天)或150－5×10=100(頭/天)。

第三步：求可以供25頭牛吃多少天?

在這里，我們還是要緊緊抓住“牛吃的草可以分成兩部分”來思考。可以將25頭牛分成兩部分：一部分去吃新生的草，另一部分去吃原有的草。因?yàn)椴莸纳L速度是5頭/天，所以新生的草恰好夠5頭牛吃，那么吃原有的草的牛應(yīng)該有25－5=20(頭)。當(dāng)這20頭牛將草地原有的草量吃完時(shí)，草地上也就沒有革了，所以100·(25－5)=5(天)。

又解：設(shè)原牧場(chǎng)上已有草量為A單位，每天生長的草量為B單位，那么：

10×20=A+20×B……(1)式

15×10－A+10×B……(2)式

若讓25頭牛來吃可吃2天的話，則：

25×x=A+B×x……(3)式

這樣，“(1)式－(2)式”得B=5，將B=5代入(1)式得A=100：

將B=5、A=100一起代入(3)式，可得x=5(天)。

例2有一口井，井底有泉水不斷涌出，每分鐘涌出的水量相等。如果用4臺(tái)抽水機(jī)來抽水，40分鐘可以抽完；如果用5臺(tái)抽水機(jī)來抽水，30分鐘可以抽完。現(xiàn)在要求在24分鐘內(nèi)抽完井水，需要抽水機(jī)多少臺(tái)?

分析與解答：這道題看起來與“牛吃草”問題毫不相關(guān)，其實(shí)題目中也蘊(yùn)含著兩個(gè)不變的量：“每分鐘涌出的泉水量相等”(相當(dāng)于草的生長速度)與“井內(nèi)原有的泉水量”(相當(dāng)于草地上原有的草量)。這樣，此題與例1的思考方法完全一樣。因此，我們可這樣分步進(jìn)行解答：

設(shè)每臺(tái)抽水機(jī)每分鐘的抽水量為1個(gè)單位，則：

(1)40分鐘內(nèi)井里面所有的儲(chǔ)水量為4×40=160；

(2)30分鐘內(nèi)井里面所有的儲(chǔ)水量為5×30=150；

(3)井里面每分鐘涌出的泉水量為(160－150)÷(40－30)；

(4)井里面原有的儲(chǔ)水量為4×40－1×40=120(或5×30)；

(5)24分鐘內(nèi)井里面所有的儲(chǔ)水量為120+1×24=144；

(6)24分鐘內(nèi)抽完井水所需的抽水機(jī)臺(tái)數(shù)為144÷24=6(臺(tái))。

以上思考過程中，我們不去考慮每分鐘都在不斷變化著的總?cè)浚菑拿糠昼娫腥咳绾螠p少的規(guī)律求出答案，這就將變化著的數(shù)量轉(zhuǎn)化為不變的數(shù)量，消除了不確定因素的干擾，使得解題化難為易。

又解：設(shè)原有泉水量為A，每分鐘涌出的泉水量為B。則：

4×40=A+40×B……(1)式

5×30=A+30×B……(2)式

這樣，“(1)式－(2)式”得B=1，代入(1)式得A=120。

若24分鐘抽完井水所需的抽水機(jī)臺(tái)數(shù)為z臺(tái)的話。又有：

x×24=A+24×B……(3)式

將B=1、A=120一起代入(3)式，可得x=6(臺(tái))。

思考與練習(xí)：

(1)牧場(chǎng)上有一片牧草，可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周。如果牧草每周勻速生長，可供21頭牛吃幾周?

[提示，解答過程如下：(23×9－27×6)÷(9－6)=15，27×6－15×6=72，72÷(21－15)：12(周)]

(2)某牧場(chǎng)的牧草勻速生長，已知15頭牛10天可以吃完牧場(chǎng)的草，或25頭牛5天吃完牧場(chǎng)的草，那么30頭牛幾天可以吃完這片牧草?(答：4天)

(3)一水庫存水量一定，河水均勻入庫。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)2。天可抽干，6臺(tái)同樣的抽水機(jī)峰續(xù)15天可抽干。若要6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)?(答：12臺(tái))

(4)一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果10人淘水，3小時(shí)可淘完；5人淘水8小時(shí)可淘完。如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人?(答：14人)