《論數(shù)》——孔子和其弟子們的數(shù)學課（二十三）

二十三 果真循環(huán)

我覺得數(shù)學課堂就像一條奔流不息的河流，有的時候非常安靜，要你細細傾聽才能發(fā)現(xiàn)它在低聲吟唱；有的時候很熱鬧，就像河水遇到礁石，激起陣陣浪花。今天的數(shù)學課，應當算是后者。

一上課，孔老師就在黑板上列出了好多個除法算式，并且和同學們一起算出得數(shù)來：

8 ÷ 4 ＝ 2

36 ÷ 720 ＝ 0.05

1 ÷ 3 ＝ 0.333……

從我們平時的計算中，大家早就發(fā)現(xiàn)，在計算除法的時候，結果只有三種情況，一種是得數(shù)為整數(shù)，一種是得數(shù)為小數(shù)，還有一種情況：得數(shù)是一個老也寫不完的小數(shù)。

其實，前兩種情況也可以說是除得盡，真正麻煩的是最后那種情況，一直除也除不盡，煩透人了。從同學們個個都點頭表示贊同來看，可以說大家對這種麻煩都是深有體會的。

孔老師指著最后一個算式告訴我們說：“如果一個整數(shù)除以另一個整數(shù)，但是又除不盡的話，那么結果就會是一個無限循環(huán)小數(shù)。”

顏回問：“什么是循環(huán)？”

我覺得他這是明知故問，循環(huán)就是循環(huán)唄，還需要解釋嗎？可是孔老師很認真地回答了他的問題：“以這道題為例，就是３依次不斷地重復出現(xiàn)。”

他在黑板上寫了六個“依次、不斷、重復”，并且在下面標了一連串的小圓圈，看起來就像是連在一起的三節(jié)車廂。我正在琢磨，如果我們魯國把車子都像這樣連在一起，再修一條專門的路，選擇最有力氣的牛來拉著，那么不是可以裝載許多貨物嗎？

可惜我的幻想被宰予給打斷了，他突然站了起來，很認真地問：“兩個數(shù)相除如果除不盡的話，為什么結果一定會是無限循環(huán)小數(shù)？說不定在連續(xù)許多個3之后，出現(xiàn)一個不是3的數(shù)字呢？”

“孔老師說的唄，還能有錯？”“我們不是已經(jīng)把商的小數(shù)部分算了好多位出來了嗎？都是3嘛！”同學們覺得宰予的問題真是有點多余，結果還是孔老師一句話定了調。

“嗯，宰予的問題很好，我很喜歡。”孔老師首先進行了表揚，“看來大家還沒有像他一樣思考過。那么接下來我們的課就圍繞著這個問題來進行討論，好不好？”

冉有說：“我覺得，世界上根本就沒有無限不循環(huán)小數(shù)嘛，至少我在計算除法的時候，就從來沒有遇到過。”

言偃站在宰予這一邊，他說：“我覺得，你沒見過的東西并不一定就是不存在的。兩個數(shù)相除，如果除不盡，那么商當然就是無限的，可是……”他話鋒一轉，“就算我承認了是無限的，也不一定代表是無限循環(huán)的呀，難道不會是無限不循環(huán)的嗎？我覺得只是我們還沒有算到足夠多位而已。”

冉有反問：“那難道我還要一直算到小數(shù)點后面幾百、幾千位嗎？”

雖然是宰予先挑起的爭端，但他沒有打算陷入爭吵之中，而是冷靜地說：“我們列了不少的除法算式，商都是無限循環(huán)小數(shù)，這里面肯定有一定的規(guī)律。”

言偃不滿地說：“怎么搞的，我站在你這一邊，你又跑到贊成無限循環(huán)一邊去了。”

宰予說：“不是我又倒向那一邊去了，我是想，這時候光靠觀察恐怕還是不夠的，最好還能講出些道理來。”

聽大家吵得不可開交，我忍不住笑了起來。你可別誤會我是個“唯恐天下不亂”的人，其實前幾天在計算中遇到不能除盡時，我正好作了深入分析，現(xiàn)在我確信自己能夠說得清楚為什么結果會是無限循環(huán)的小數(shù)。

這時，孔老師提示同學們：“商如果是無限循環(huán)小數(shù)，那么就是商的小數(shù)部分中，有一些數(shù)字依次不斷地重復出現(xiàn)。那為什么這些數(shù)字會依次不斷地重復出現(xiàn)呢？”

聽到這里，我連忙舉手示意：“孔老師，我覺得我能解釋清楚這個問題。”

孔老師高興地沖我點點頭，說：“還是請子盧來說說吧。”

我走到臺前，工工整整地把1÷3的結果又算了一遍，算到小數(shù)后面第3位為止。

我暫時停下來，轉過身來對大家說：“我想我就算是再算下去，算到一百位、一千位、甚至是一萬位，也不一定就能說明下一位也是3。因為有的同學總是覺得‘眼見為實’，但是既然我們不可能把這個小數(shù)商的所有的數(shù)位全寫出來，那么我相信肯定有另一種辦法能夠讓我們確信后面的數(shù)字一直都是3，而這個辦法，我想了很久，終于明白了。”

子路好奇地問：“那是什么？”

我接著說：“那就是數(shù)學推理！”

“推理？”

“是的，推理，這是思維的力量，也可以說是數(shù)學的力量。”

“那你就說說吧！”大家都很感興趣，當然，也有可能是他們吵累了，口干舌燥，不想再說話了。

我指著黑板上的豎式說：“我們的眼睛不要老盯著這個商里面的3，而應該想一想，這個3是怎么來的。”

“因為這時候被除數(shù)是10嘛。”

“為什么被除數(shù)會是10呢？”

“因為前一次的余數(shù)是1，添上一個0繼續(xù)除，就變成10了嘛。”

“那余數(shù)為什么是1呢？”

“因為商是3，三三得九，10-9＝1。”

“對了！”我很滿意大家的回答，“所以說，商里面的3是來自這一步的被除數(shù)10，而被除數(shù)10是來自上一步的余數(shù)1，而余數(shù)1又來自商里面的3。這樣互相影響，余數(shù)不斷是1，那么商里面的3不就循環(huán)出現(xiàn)了嗎？”

同學們認真的聽著我的分析，不少人陷入了沉思中。

要說起來宰予真是愛提問，他這會兒又站起來質疑我：“這道題的數(shù)字簡單，按照你說的方法也可以解釋。如果是比較大的數(shù)字，比如說100÷23，每一次出現(xiàn)的余數(shù)都不一樣呢，那么你怎么說明商會循環(huán)出現(xiàn)呢？”

我嚇了一跳，這宰予還真是行家，一個數(shù)除以23，如果結果是循環(huán)小數(shù)的話，那循環(huán)節(jié)還真是相當?shù)拈L……不過，哈哈，正好我前幾天遇到過這種問題，并進行了深入的研究。

我胸有成竹地朝他豎豎大拇指，說：“你說的除數(shù)23，還真是特別。”這時候我看到班上已經(jīng)有同學在沙盤上飛快地算起來了，“大家算了半天，可能還沒看到余數(shù)出現(xiàn)一樣的吧？但我可以非常肯定的說，余數(shù)最終是會出現(xiàn)一樣的！”

那些忙著計算的同學們都停下了，看著我。

我要的就是這個效果，于是繼續(xù)說：“我們已經(jīng)知道，余數(shù)總是要比除數(shù)小的，那么除數(shù)是23，不管余數(shù)出現(xiàn)的情況有多復雜，但最多也就幾種可能。”

子路搶著說：“22種，余數(shù)是0就除盡了，不算。”

“對了，正因為余數(shù)的可能性也是有限的，所以只要除下去，終究有一次會出現(xiàn)與前面相同的余數(shù)。余數(shù)重復出現(xiàn)，商的小數(shù)部分也就會重復出現(xiàn)，結果就是一個循環(huán)小數(shù)了。”

孔老師沒有對循環(huán)小數(shù)的爭論再作小結，而是直接說：“除不盡就肯定循環(huán)嗎？恐怕大家在平時有一些體會，但到底是不是一定成立，為什么成立，卻沒有作過真正的思考。我很高興看到宰予不斷地提出問題，而子盧能夠尋找內在聯(lián)系、解釋規(guī)律，這才是我希望你們在數(shù)學課上學到的東西呀。”

緊接著，他又補充了一句：“下次，我再找一個這樣的例子，看看你們誰能用數(shù)學的推理來彌補我們觀察的界限，敬請期待。”

同學們紛紛暈倒。

數(shù)學鏈接

在小學數(shù)學中，有不少規(guī)律是從部分例子中歸納出來的，比如三角形的內角和是180°，圓錐的體積等于等底等高的圓柱的三分之一等。你能像故事中的同學們那樣，找到數(shù)學推理的證明辦法嗎？