關(guān)于０７年高考理綜物理一道錯題的分析

全國高考理綜卷Ⅱ第25題實際是一個有漏洞的錯誤題目，原題為：

如圖所示，在坐標系Oxy的第一象限中存在沿y軸正方向的勻強電場，場強大小為E。在其他象限中存在勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里。A是y軸上的一點，它到坐標原點O的距離為h；C是x軸上的一點，到O的距離為l。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點進入電場區(qū)域，繼而同過C點進入磁場區(qū)域，并在此通過A點，此時速度與y軸正方向成銳角。不計重力作用。試求：

（1）粒子經(jīng)過C點是速度的大小和方向；

（2）磁感應(yīng)強度的大小B。

所給參考答案為：

（1）以a表示粒子在電場作用下的加速度，有qE=ma①

加速度沿y軸負方向。設(shè)粒子從A點進入電場時的初速度為v0，由A點運動到C點經(jīng)歷的時間為t，則有

h=12at2②

l=v0t③

由②③式得v0=la2h④

設(shè)粒子從C點進入磁場時的速度為v，v垂

直于x軸的分量v1=2ah⑤

由①④⑤式得v=v20+v21=qE(4h2+l2)2mh⑥

設(shè)粒子經(jīng)過C點時的速度方向與x軸夾角為α，則有tanα=v1v0⑦

由④⑤⑦式得α=arctan2hl⑧

（2）粒子從C點進入磁場后在磁場中做速率為v的圓周運動。若圓周的半徑為R，則有

qvB=mv2R⑨

設(shè)圓心為P，則PC必與過C點的速度垂直，且有PC=PA=R。用β表示PA與y軸的夾角，由幾何關(guān)系得

Rcosβ=Rcosα+h⑩

Rsinβ=l-Rsinα(11)

由⑧⑩(11)式解得

R=h2+l22hl4h2+l2(12)

由⑥⑨(12)式得B=lh2+l22mhEq。

該題的錯誤之處在于粒子從磁場再次通過A點時，其速度方向與y軸正方向成鈍角，而不是成一銳角。參考答案第二問也就給出了一個的解答。關(guān)于與y軸成鈍角還是成銳角的問題，可根據(jù)粒子在磁場中做勻速圓周運動圓心位置來判定。若圓心位置在第四象限則成銳角；若圓心在y軸上則成直角；若圓心位置在第三象限則成鈍角。此題可利用數(shù)學方法證明粒子在磁場中做勻速圓周運動圓心位置在第三象限，所以粒子再次通過A點時，其速度方向應(yīng)與y軸成鈍角。證明方法如下： 

如圖所示國l1為AC的垂直垂直平分線，l2為過C點且與粒子在C點速度的垂直的直線，兩直線的交點P即為粒子在磁場中做勻速圓周運動圓心位置。由數(shù)學知識可知l1的斜率為lh，l2的斜率為cotα，由平拋運動規(guī)律可知cotα=l2h，所以直線 l1、l2的點斜式方程分別為：

l1：y=h2=lh(x-l2)

l2：y=l2h(x-l) 

兩方程聯(lián)立解之得圓心P的位置坐標為（-h2l，-l2+h22h），

由兩點間的距離公式，所以粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為

R=PA=PC

=(-h2l-l)2+(h2+l22h)2

=h2+l22hl

下面求磁感應(yīng)強度B的方法與參考答案相同

其實本題如果能嚴格按尺規(guī)作圖的方法去畫圖，也可作出粒子在磁場中做勻速圓周運動圓心位置P在第三象限內(nèi)，方法如下：

如圖所示作FA垂直y軸，F(xiàn)C垂直于x軸，連結(jié)AF的中點E和點C，并延長即為C點速度V的方向（平拋運動規(guī)律），過C作CE的垂線交AC的垂直平分線于P，則P即為粒子在磁場中做勻速圓周運動圓心，顯然P在第三象限，用β表示PA與y軸的夾角，由幾何關(guān)系得

Rcosβ=Rcosα+h

Rsinβ=Rsinα-l

又tanα=2hl

同樣可得R=h2+l22hl4h2+l2

由此可見與參考答案僅有一個方程之差，原答案（11）式為Rsinβ=l-Rsinα，這里是Rsinβ=Rsinα-l，而這兩個方程兩邊同時平方求R時上所起的作用是一樣的，這也正是此題能從命題人的層層把關(guān)下逃脫的根本原因。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。