電荷在有界磁場中磁偏轉(zhuǎn)最值問題探析

電荷在有界磁場中發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，受到外界條件的限制和自身運動初始條件的制約，包括磁場區(qū)域的有界性、磁場強度的大小和初速度大小以及方向的相關(guān)要求，使粒子在規(guī)定的空間內(nèi)發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)。依據(jù)實際發(fā)生的物理場景，主要分為：有界磁場分布區(qū)域面積的最值問題和粒子的初始運動狀態(tài)的邊界極值問題兩大類。

1 有界磁場分布區(qū)域的最值問題

該類問題主要解決外界提供什么樣以及多大的磁場，使運動電荷在有限的空間完成規(guī)定偏轉(zhuǎn)程度的要求，一般求解磁場分布區(qū)域的最小面積，它在實際中的應(yīng)用就是磁約束。

容易混淆點是：有界磁場的圓形區(qū)域與粒子運動徑跡的圓弧。解決的方式就是加強有界磁場圓形區(qū)域與粒子運動徑跡所在圓的圓心以及半徑的對比。

原型啟發(fā) 如圖1所示是某一粒子速度選擇器原理示意圖，在一半徑為R=10cm的圓柱形筒內(nèi)，有一磁感應(yīng)強度為B=10-4T 的勻強磁場，方向平行與軸線，在圓柱筒某一直徑兩端開有小孔，作為入射孔和出射孔，粒子束以不同的角度入射，最后有不同速度的粒子束射出，現(xiàn)有一粒子源發(fā)射荷質(zhì)比為2×1011C/Kg的陽離子，且離子中速度分布連續(xù)，當角度θ=45°時，出射速度v的大小是多少？

解析：已知帶電粒子進入磁場時的速度和出磁場時經(jīng)過的點，過入射點做速度的垂線，和入與出兩點連線的中垂線相交于O1點則為粒子運動軌跡的圓心。

r=mvqB ，所以運動軌跡如圖AMD所示（區(qū)別于有界磁場的圓弧），在qm一定的前提下，r∝v ，故不同的速度對應(yīng)不同的半徑，將從不同位置射出，故成為速度選擇器的一種（異于平衡態(tài)下直線運動狀態(tài)下qE=Bqv的速度選擇器）。

由幾何關(guān)系可知，粒子運動軌跡所對應(yīng)的圓心角為α=π2，r=2R=mvqB

解得：v=2RqBm=22×106m/s 。

小結(jié)1 磁約束問題主要是指粒子在有限空間內(nèi)發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，通過運動徑跡確定軌跡所在圓的圓心角和對應(yīng)的半徑，進而通過半徑公式確定相關(guān)物理量，這應(yīng)當是解決此類問題的關(guān)鍵。

在涉及到多方物理過程問題中，依據(jù)發(fā)生的實際物理場景，尋求不同過程中相銜接和聯(lián)系的物理量，采用遞推分析或者依據(jù)發(fā)生的階段，采用順承的方式針對不同階段進行分析，依據(jù)不同的運動規(guī)律進行解決，這應(yīng)當是解決此類問題的根本。

例1 如圖2所示，紙平面內(nèi)有一帶電粒子以某一速度做直線運動，一段時間后進入一垂直于紙面向里的圓形勻強磁場中（圖中未畫出磁場的區(qū)域），粒子飛出磁場后從上板邊沿平行于板面進入兩面平行的金屬板間，兩金屬板帶等量的異種電荷，粒子在兩板之間經(jīng)偏轉(zhuǎn)后恰從下板右邊緣飛出。已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，其重力忽略不計。粒子進入磁場前的速度方向與帶電極板成θ=π3，勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，帶電極板長為 ，板間距為d，板間電壓為U，試解答：

⑴上金屬板帶什么電？

⑵粒子剛進入金屬板時速度為多大？

⑶圓形磁場區(qū)域的最小面積為多大？ 

分析 帶電粒子先后做勻速直線運動、有界磁場中的磁偏轉(zhuǎn)（勻速圓周運動）和平行板間的電偏轉(zhuǎn)（類平拋運動）三種運動形式。已知磁偏轉(zhuǎn)中射入與射出速度的方向，但有界磁場分布空間在哪？區(qū)域面積有多大？即運動電荷從何處進入與從何處射出均不知。雖然磁偏轉(zhuǎn)中的末態(tài)速度方向平行于極板沿上沿進入，但在何處變?yōu)樗饺匀皇俏粗膯栴}，因此本題求解需要先從已知量較多類平拋運動，即電偏轉(zhuǎn)甲圖開始入手，以此為乙圖和丙圖。整個發(fā)生的物理過程順次為丁圖。

解析 運動電荷先后做勻速直線運動、有界磁場中做勻速圓周運動的磁偏轉(zhuǎn)和平行板之間類平拋運動的電偏轉(zhuǎn)，由題意分析可知，帶電粒子呈負電性。

在平行板之間做類平拋運動時設(shè)飛行時間為 ，由其運動規(guī)律可知：x=l=v0t

y=d=qUt22md，聯(lián)立以上兩式解得：

v0=ldqU2m。

粒子在有界磁場中發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，延長入射與射出速度的飛行線相交于P點，做該夾角的角平分線，設(shè)粒子的偏轉(zhuǎn)軌跡半徑為r，則：

Fn=f洛，Bqv=mv2r，r=mvqB=lBdmU2q。

在該校平分線上求作定點，使該點到兩速度作用線的距離為半徑R=lBdmU2q，設(shè)切點分別為M，N，則圓弧⌒MN為粒子在有界磁場中發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)的運動軌跡。

連接M，N ，以之為半徑做圓，由數(shù)學(xué)知識可知，該圓為所求的圓形磁場的最小面積。設(shè)有界磁場的半徑為R，粒子在有界磁場中發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)的運動軌跡所對應(yīng)的圓心角為π3，則在等邊三角形MNO1中，2R=r=lBdmU2q ，即：R=l2BdmU2q ，S=πR2=πmUl28qd2B2。

小結(jié)2 本題涉及運動電荷先后經(jīng)歷磁偏轉(zhuǎn)和電偏轉(zhuǎn)多方物理過程，而且多過程之間彼此獨立，但相關(guān)物理量卻彼此關(guān)聯(lián)，互為依存，這就為我們轉(zhuǎn)化成運動電荷在單一場中的運動做好了積極的鋪墊，因此，能否凸現(xiàn)各物理過程的運動特點，揭示其運動規(guī)律成為解決本問題的關(guān)鍵。至于先從哪個物理過程入手，基于題干提供物理量多少而靈活確定。

對應(yīng)練習(xí)

1.不計重力的帶正電離子，質(zhì)量為m，電量為q，以與y軸成30°角的初速度v0從a點射入第一象限，如圖1-3所示，為使該帶電粒子能從x 軸上的b點以與x軸成60°方向射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于xoy平面磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，若此磁場分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這個圓形區(qū)域的最小半徑？

2.如圖1-4直角坐標系的第一象限中存在著沿y軸負方向的勻強電場，在第二象限內(nèi)存在著垂直于紙面向紙內(nèi)的勻強磁場，一電量為q，質(zhì)量為m的帶正電離子，在-x軸方向成60°方向射入勻強磁場，然后經(jīng)過y軸上y=L處的b點垂直于y軸方向射入電場，并經(jīng)過x軸上的x=2L處的c點，求：

⑴磁感應(yīng)強度B的大小？

⑵電場強度E的大小？

⑶粒子在磁場和電場中的運動時間之比？

2 求解運動電荷初始運動條件的邊界極值問題

該類問題多指運動電荷以不同的運動條件進入限定的有界磁場區(qū)域，在有限的空間發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，有可能是一個相對完整的勻速圓運動，也有可能是圓周的一部分，對于后者往往要求在指定的區(qū)域射出，但由于初速度大小以及方向的差別，致死離子在不同的位置射出，因此也就存在著不同情況的邊界極值問題。缺失多種情況的分類探討，成為解決本類問題的主要癥結(jié)。

2.1 具有確定的入射速度方向，求解速度大小的邊界極值問題

例2 如圖所示，截面為直角三角形的區(qū)域內(nèi)，有一個理想邊界的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度為B，三角形區(qū)域的ab邊成30°角垂直于磁場方向射入場內(nèi)，已知電子的電量為e，質(zhì)量為m，為使電子能從ac射出，電子入射速率v0應(yīng)滿足什么條件？ 

問題探究性分析 電子在有界磁場中發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，已知進入磁場的速度方向，出磁場的條件限制是從ac邊上的任意位置射出，∵r=mvqB，即r∝v，因此能讓離子發(fā)生磁回旋到達ac上的邊界條件就是運動軌跡與bc相切，設(shè)對應(yīng)此條件的臨界速度為v1，切點為P，軌跡圓心為O1，半徑為r1。做入射速度作用線交bc于N點，構(gòu)建四邊形，由幾何關(guān)系可證明四邊形NPO1M為正方形，則MN=r1=Mvcos30°=34L=mv1qB，解得：v1=3qBL4m；

第二種情況是帶電粒子發(fā)生磁回旋，r∝v，故v越小帶電粒子出磁場時的點越靠近a點，當運動電荷發(fā)生磁回旋的圓弧恰好與ac相切的時，對應(yīng)的邊界極值臨界速度為v2，切點設(shè)為Q，對應(yīng)的軌跡半徑為r2，圓心為O2。由圓心O2向ab做垂線，垂足為D，在RtΔMDO2 中：

MD=L2-r2=r2cos30°，

解得：r2=L3=mv2qB，所以v2=qBL3m

綜上述可知，粒子從邊界ac射出的臨界條件為：qBL3m＜v≤3qBL4m

2.2 已知入射速度的大小但方向可變問題的求解

例3 在真空中有一半徑r=3×10-2m的圓形區(qū)域，內(nèi)有勻強磁場，方向如圖所示，磁感應(yīng)強度B=0.27T，一個帶正電的粒子以v0=106m/s的初速度從磁場邊界上直徑ab的一端a點射入磁場，已知該粒子的荷質(zhì)比qm=108C/kg，不計粒子的重力，求：

(1)粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑是多少？

(2)若要使粒子飛離磁場時具有最大的磁偏角，求入射時v0方向與ab的夾角θ以及粒子的最大磁偏角β=?

解析 粒子在勻強磁場中發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，是勻速圓周運動的一部分，設(shè)軌跡半徑為R

Bqv=mv2R ，∴R=mvqB=5×10-2m

粒子在圓形有界磁場中發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，軌跡為圓弧，對應(yīng)的軌跡半徑R=5cm，延長射入與飛出磁場時速度的作用線，兩者之間的夾角為磁偏角β，由圓的幾何知識可知，磁偏角β等于對應(yīng)軌跡的圓心角。要使磁偏角最大，則軌跡所對應(yīng)的圓心角最大，即所包圍的圓弧最長，所夾的弦應(yīng)當最長，由題意分析可知，最長的弦則為ab，由幾何知識可知

sin θ2=rR=0.6，解得：θ=74°。

因此，粒子在有界磁場中發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，因外界磁場空間范圍大小的限定，使之運動的初始條件就有了相應(yīng)的限制，表現(xiàn)為在指定的范圍內(nèi)運動。確定運動軌跡的圓心，求解對應(yīng)軌跡圓的幾何半徑，通過圓心角進而表述臨界極值，這應(yīng)當是解決該類問題的關(guān)鍵。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。