一個應該糾正的問題
2008-12-31 00:00:00馮明志
物理教學探討 2008年11期
北京教育出版社出版的《高中物理解題方法與技巧》資料中有如下這道題，現談談我在解這道題時的體會。
題目 如圖1所示，物體A、B、C質量均為m，Q點到兩定滑輪的水平距離均為L，兩滑輪間繩水平，繩重不計，所有摩擦均不計，C物體由圖1所示位置從靜止釋放，求其下落過程中的最大速度。
許多師生的解答如下：
如圖2所示，設C物體下落過程中最大速度為v，此時A、B速度均為v′，
繩中拉力大小均為T=mg，（1）
結合共點力平衡條件：
2Tcosθ=F=mg。(2)
由圖3所示，結合速度的合成與分解知：
2v′cosθ=v。（3）
由機械能守恒定律知：
mgLcotθ-2mgL(1sinθ-1)=12mv2+12(2m)v′2。(4)由（1）、（2）、（3）和（4）得：
v=6(2-3)gL3。
原解認為繩中張力等于重物的重力，即T= mg是理所當然的，也就是說，當C物體的加速度為0時，A、B兩物體的加速度也同時為0，即A、B、C三物體同時達到自己的平衡位置，這種理解是錯誤的。另外把速度的合成與分解等效為力的合成與分解，這同樣是不對的。所以在解這道題要注意以下兩點：
1 速度關系要弄清
許多學生搞不清C物體與A物體（或B物體）的速度關系，盲目仿效力的合成與分解，認為C的速度可以分解成A的速度與B的速度，如圖3所示，這樣分解實際是錯誤的。正確的分解方法應如圖4所示，將其分解為沿繩的速度v∥和垂直于繩的速度v⊥，v∥即為A物體的速度。但是不能只簡單的告訴學生應該這樣分解，否則學生仍是一頭霧水，不知其所以然。下面的微元法解此速度關系，學生接受良好。
微元法 要確定某時刻兩物體瞬時速度關系，通常是分析足夠短的時間Δt內兩點的位移情況，而后利用瞬時速度公式求得。設經過極短時間Δt，物體A運動到A′，如圖5所示，使O2O=O2O3，因時間極短，可以認為OO3⊥O3O1，∠O O1O3=θ，這段時間內的平均速度就等于瞬時速度，此時則有
v′=O3O1Δt，v=O O1Δt，
因為O3O1=O O1cosθ，
所以v′=vcosθ。
2 繩中張力大小是否變化要明白
含有此題的所有資料中都認為C物體速度最大時，其加速度為0，A、B兩物體的加速度也同時為0，即繩中張力T=mg，這是錯誤的。讓我們從運動學角度分析，對A、C兩物體的加速度關系有：
aA=dvAdt
=d(vccosθ)dt
=dvcdtcosθ+dcosθdtvC
=aCcosθ+dcosθdtvC。
當aC=0時，aA=dcosθdtvC≠0。
可見C物體的加速度為0時，A、B兩物體的加速度并不為0，所以繩中的張力T≠mg。至此，讀者應當知道，所有資料對此題的解答都是錯誤的。
正確解法如下：
A、B、C三個物體構成的系統機械能守恒，則有：
mgLcotθ-2mgL(1sinθ-1)=12mv2+12(2m)v′2，(5)
v′=vcosθ。(6)
由（5）（6）兩式解得：
v2=2sinθ+cosθ-2sinθ(1+2cos2θ)2gL。(7)
(7)式是v與θ的關系式，理論上可以用解析方法求出v的極值，但高中學生因為數學知識的局限性，解起來十分復雜。由以上分析可以看到，此題實際上已經超出中學教學要求，是不應該在中學物理資料中出現的。
但是此題如果做如下改變，如圖6所示，即在繩A、B兩端分別施加豎直向下的恒力F=mg，其它條件不變，則此題可解，不妨一試。
參考文獻：
［1］薛金星.高中物理解題方法與技巧——怎樣解題［M］.北京：北京教育出版社.2007.
(欄目編輯羅琬華)
