從高考實驗題談電源電動勢和內阻解法

圖像法是處理實驗數據常用方法之一，它的優點在于：一是用圖線表示相關物理量的關系具有直觀、形象的特點，二是圖線作出后，還可以求出相關的其它物理量，并可以結合圖像對所涉及的問題進行討論。然而當被測量的函數為非線性關系時，一般處理起來比較困難，而且也很難從曲線中作出正確的判斷。這時一般進行變數置換，把曲線轉換為直線，使問題的處理簡化。其中倒數法是這種變換的常用方法，本文結合近年來的高考題，談談倒數法在求電源電動勢和內阻中的應用。

1 利用R-1I圖像或1I-R圖像

當利用安阻法來測量電源電動勢和內阻時，改變電阻箱的阻值，就可以得到幾組R、I值。根據閉合電路的歐姆定律公式E=I（R+r)可知I與（R+r)成反比，其圖線為反比例曲線。若對電源或電阻取倒數，作出R-1/I圖像或1/I-R圖像，就可以將曲線轉化為直線，從線性圖線中求出電源電動勢和內阻，從而使問題得以解決。

例1 （2006#8226;江蘇）現在按圖1所示的電路測量一節舊干電池的電動勢E（約1.5V)和內阻r(約20Ω），可供選擇的器材如下：電流表A1、A2（量程0~500μA，內阻約為500Ω），滑動變阻器R（阻值0~100Ω，額定電流1.0A)，定值電阻R1（阻值約為100Ω），電阻箱R2、R3（阻值0~999.9Ω），開關、導線若干。

由于現有電流表量程偏小，不能滿足實驗要求，為此，先將電流表改裝（擴大量程），然后再按圖1電路進行測量。

（1）、（2）略。

（3）利用電流表A、電阻箱R3測電池的電動勢和內阻。用電流表A、電阻箱R3及開關S按圖1所示電路測電池的電動勢和內阻。實驗時，改變R3的值，記錄下電流表A的示數I，得到若干組R3、I的數據，然后通過作出有關物理量的線性圖像，求得電池電動勢E和內阻r。

a.請寫出與你所作線性圖像對應的函數關系式______。

b.請在虛線框內坐標中作出定性圖像（要求標明兩坐標軸所代表的物理量，用符號表示）

c.圖中______表示E，圖中______表示r。

解析 （3）a.由閉合電路的歐姆定律

I（R3+RA+r)=E

得：R3+RA=E1I-r

或1I=1E（R3+RA）+rE

b.定性圖像如圖2、3所示。

c.對于圖線2，直線的斜率表示電源電動勢E，直線與縱軸截距的絕對值表示電源的內阻r。對于圖線3，直線斜率的倒數表示電源電動勢E，直線與縱軸截距與斜率的倒數的乘積表示電源內阻r。

例2 （2006#8226;廣東）某同學設計了一個如圖4所示的實驗電路，用以測定電源電動勢和內阻，使用的實驗器材為：待測干電池組（電動勢約3V）、電流表（量程0.6A，內阻小于1Ω)、電阻箱（0~99.99Ω)、滑動變阻器（0~10Ω）、單刀雙擲開關、單刀單擲開關各一個及導線若干?？紤]到干電池的內阻較小，電流表的內阻不能忽略。

（1）該同學按圖4連線，通過控制開關狀態，測得電流表內阻約為0.20Ω。試分析該測量產生誤差的原因是__________。

（2）簡要寫出利用圖4所示電路測量電源電動勢和內阻的實驗步驟：

①______；②______。

（3）圖5是由實驗數據繪出的1I-R圖像，由此求出待測干電池組的電動勢E=____V、內阻r=____Ω。（計算結果保留三位有效數字）

解析 （1）略。

（2）①K斷開，電阻箱阻值R調至最大值，S接通D；②調小電阻箱R的阻值，使得電流表指針有足夠的偏轉，改變R的阻值測出幾組I隨R變化的數據。

（3）由閉合電路的歐姆定律知：

E=I（R+RA+r），

1I=RE+RA+rE，

所以圖像的斜率k=1E，

得E=2.86V。

由縱軸截距可得：

RA+rE=0.9，

所以r=2.37Ω。

2 利用1U-1R圖像

當利用伏阻法來測量電源電動勢和內阻時，改變電阻箱的阻值，就可以得到幾組R、U值。根據閉合電路的歐姆定律公式E=UR（R+r)，對公式取倒數進行變形1U=1ER（R+r)，所以：1U=rE#8226;1R+1E，作出1U-1R圖像，就可以將復雜的U、R關系轉化為線性關系。直線與縱軸截距的倒數表示電源電動勢E，直線斜率與直線與縱軸截距的倒數的乘積表示電源內阻r。

例3 （2007#8226;四川）甲同學設計了如圖6所示的電路測電源電動勢E及電阻R1和R2阻值。實驗器材有：待測電源E（不計內阻），待測電阻R1，待測電阻R2，電壓表V（量程為1.5V，內阻很大)，電阻箱R（0~99.99Ω），單刀單擲開關S1，單刀雙擲開關S2，導線若干。

（1）先測電阻R1的阻值。請將甲同學的操作補充完整：閉合S1，將S2切換到a，調節電阻箱，讀出其示數R和對應的電壓表示數U1，保持電阻箱示數不變，__________，讀出電壓表的示數U2。則電阻R1的表達式為R1=______。

（2）甲同學已經測得電阻R1=4.8Ω，繼續測電源電動勢E和電阻R2的阻值。該同學的做法是：閉合S1，將S2切換到a，多次調節電阻箱，讀出多組電阻箱示數R和對應的表示數U，由測得的數據，繪出了如圖7所示的1U-1R圖線，則電源電動勢E=______V，電阻R2=______Ω。

（3）利用甲同學設計的電路和測得的電阻R1，乙同學測電源電動勢E和電阻R2的阻值的做法是：閉合S1，將S2切換到b，多次調節電阻箱，讀出多組電阻箱示數R和對應的電壓表示數U，由測得的數據，繪出相應的1U-1R+R1圖線，根據圖線得到電源電動勢E和電阻R2。這種做法與甲同學的做法比較，由于電壓表測得的數據范圍______（選填“較大”、“較小”或“相同”），所以______同學的做法更恰當些。

解析 （1）因為電源內阻不計，將S2切換到b測得R與R1兩端的電壓U2，由歐姆定律得：

U2=I（R1+R)和U1=IR，

因此R1=(U2-U1)R/U1

（2）因為R1=4.8Ω，當S2接a時，由閉合電路的歐姆定律可得

E=UR（R+R1+R2）

則1U=1R#8226;R+R1+R2E

=1E+1RE（4.8+R2)

結合圖像可得：

斜率k=4.8+R2E=2.8-0.70.5；

圖線在縱軸上的截距1E=0.7，

解之：E=1.43V，R2=1.2Ω。

（3）乙同學用電壓表測電阻箱R和R1的電壓，當電阻箱R變化時總電流變化，R1是定值電阻，已分得一定的電壓，所以此種情況電壓表測得的數據不是從零開始到最大值，范圍較小，所以甲同學的做法更恰當。

從以上幾個具體實例我們可以看出，只要掌握了這種曲變直的內涵，就可以利用圖像進行數據處理，求出要求的物理量，使學生解決問題的能力得以提高。

(欄目編輯陳 潔)