如何求鋸齒波交流電的有效值

摘要：中學教材中著重講述了正弦交流電的有效值規律，而其它有效值的計算需用微積分求得。本文另辟蹊徑，采用數列求和方法求得鋸齒波電流的有效值，具有探究性、綜合性、實用性。

關鍵詞：鋸齒電流；有效值；方均根；極限運算

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2008)9(S)-0047-1



問題的提出

在近期我校高三大考中有一道這樣的題目，一交變電流隨時間變化圖像如圖1所示，則此電流的有效值是：( )



A.等于Im2。 B.大于Im2。

C.小于Im2。D.無法判斷。

本題旨在考查學生“把正弦交流電和鋸齒交流電相比而得出結論”的對比能力，只要添加輔助曲線成正弦函數就很容易得出結論為(C)。但考后有同學問這道題中電流的準確有效值是多少，于是，我們就針對此類問題進行了探究。

問題的探究

1.有效值的表達式

I=i21+i22+…+i2nn的由來。

高中教材已明確指出，讓交流電和直流電通過阻值相同的電阻，如果它們在相同的時間內產生的熱量相等，則這一直流電的數值叫做這一交流電的有效值。

選取時間為一個周期T，并把T分成n等份，則每一份時間Δt=Tn(當n∞時，Δt0)。可以認為在時間Δt內電流為某一定值，則根據有效值的定義得

I2RT=i21RΔt+i22RΔt+…+i2nRΔt，

所以有效值

I=i21+i22+…+i2nn。

2．鋸齒波交流電的有效值I=Im3的證明

分析如圖2所示的鋸齒波，把周期T分為n等份后，對應時刻分別為

t1=Δt，t2=2Δt，…，tn=nΔt=T，

所對應的電流的瞬時值

i1=Kt1，i2=Kt2，…，in=Ktn=Im。

由有效值表達式

I=K2（12+22+…+n2)Δt2n。

將公式12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)6

代入上式進行極限運算并用K=ImT化簡后得I=Im3。

問題的解決

得出鋸齒波電流有效值I=Im3后，文首的問題也就迎刃而解。對有效值的理解也更加深刻，同時也把矩形波、正弦波、鋸齒波的有效值貫穿在一起：11Im、12Im、13Im。

(欄目編輯陳 潔)