破解比較大小問題的三板斧

廣東省佛山市南海區(qū)石門中學(528200) 熊向前

在全國卷的高考試題中,以冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等基本初等函數(shù)為載體,考查實數(shù)的大小比較問題頻頻出現(xiàn). 解決這類問題,除利用不等式的基本性質和基本不等式以外,常用的方法還有代特殊值法、作差(商)法、中間值法、利用函數(shù)單調性法等. 而近兩年來,這類高考試題呈現(xiàn)出在高等數(shù)學背景下的命題趨勢,其思維量、運算量在加大,綜合性更強,以往的常規(guī)方法處理這類題目顯得捉襟見肘. 本文以近兩年的高考真題及模擬題為例,總結并歸納出破解這類問題的三板斧.

第一板斧 構造函數(shù)

常見的構造函數(shù)法有三類.

第一類: 構造同一個函數(shù),利用單調性解決

若通過對要比較的幾個代數(shù)式進行變形,可以使得它們在結構上完全一樣,則可考慮構造出這種相同結構所對應的函數(shù),使得要比較的數(shù)轉化成這個函數(shù)的不同自變量所對應的函數(shù)值,利用該函數(shù)的單調性,只需比較這幾個自變量的大小即可.

解析根據(jù)a,b以及9m- 10 = 0 的結構特征容易想到構造函數(shù)f(x) =xm-x- 1 (8 ≤x≤10), 則f′(x) =mxm-1-1, 由9m= 10 得m= log910 ＞1, 則當8 ≤x≤10 時,f′(x) ＞0,所以f(x)在[8,10]上單調遞增,則f(10)＞f(9)＞f(8)即a＞0 ＞b. 故選A.

評析根據(jù)代數(shù)式的特征合理構建函數(shù),再利用導數(shù)討論其單調性,其中,對代數(shù)式變形后構建函數(shù)是關鍵. 在利用函數(shù)單調性分析函數(shù)值大小時,可充分利用函數(shù)圖像數(shù)形結合地解決.

第二類: 構造多個函數(shù),轉化成不同函數(shù)在某一區(qū)間上的大關系

若要比較的數(shù)無法變形成相同的結構,但式子中具有相同的量,此時可考慮將這個相同的量用變量替換,從而構造出不同的函數(shù),根據(jù)要比較的幾個數(shù),給出函數(shù)的定義域,再對不同函數(shù)作差, 對差函數(shù)進行求導分析, 得到差函數(shù)與0的大小關系, 從而得出不同函數(shù)在所給區(qū)間上的大小關系,通過賦值,得出要比較的數(shù)的大小關系.

評析例3、例4 中a,b,c的結構具有很大的差別,無法將其變形成相同結構,所以考慮直接構造多個函數(shù),通過比較幾個函數(shù)的大小來確定a,b,c的大小關系. 運用構造函數(shù)法時要注意一些細節(jié). 其中,根據(jù)所要比較的數(shù)給函數(shù)加一個定義域非常重要,且構造出來的函數(shù)在區(qū)間端點的取值最好為0,這樣可以使得求導后對導函數(shù)正負性的判斷變得容易,減少分類討論的次數(shù),從而減小運算量.

第三類: 構造兩個函數(shù),數(shù)形結合地解決

對于已知兩個變量所對應的等量關系,要比較這兩個變量的大小問題,可考慮將兩個變量移到等式的兩邊,若無法將兩邊化成統(tǒng)一的結構而構造同一個函數(shù),則可考慮直接構造出兩個不同的函數(shù),將問題轉化成“在已知兩個函數(shù)的函數(shù)值相等的情況下,研究其自變量的大小”的問題.

例5(2023 年佛山一模) 若正實數(shù)x,y滿足xex-1=y(1+lny),則下列不等式中可能成立的是( )

A.1＜x＜yB.1＜y＜xC.x＜y＜1 D.y＜x＜1

解析設f(x) =xex-1,g(x) =x(1+lnx),則f(x) =g(y). 當x= 1 時,f(1) =g(1);當x?= 1 時f(x)-g(x) =x[ex-1- (1+lnx)], 由ex≥x+ 1 及l(fā)nx≤x- 1 得ex-1-(1+lnx) ＞0,則f(x)-g(x) ＞0,即f(x) ＞g(x).通過對f(x)和g(x)求導容易分析其單調性,在同一直角坐標系中畫出它們的函數(shù)圖像(如圖1 所示),結合函數(shù)圖像可知A C 正確.

圖1

例6(2021 年佛山二模)已知不相等的兩個正實數(shù)x,y滿足x2-y= 4(log2y-log4x),則下列不等式中不可能成立的是( )

A.x＜y＜1 B.y＜x＜1 C.1＜x＜yD.1＜y＜x

解析由x2-y= 4(log2y-log4x)得x2+2log2x=y+4log2y,設f(x) =x2+2log2x,g(x) =x+4log2x,則f(x) =f(y).f(x) 和g(x) 均為(0,+∞) 上的增函數(shù), 且, 故h′(x) 在(0,+∞) 上單調遞減, 又, 故存在x0∈(1,2)使得h′(x)=0,所以當x∈(0,x0)時,h′(x)＞0,h(x)單調遞增,當x∈(x0,+∞)時,h′(x)＜0,h(x)單調遞減, 又因為h(1) = 0,h(2) = 0 所(0,1) 和(2,+∞) 上h(x)＜0, 此時g(x)＜f(x); 在(1,2) 上h(x) ＞0, 此時g(x)＞f(x),在同一直角坐標系中畫出它們的函數(shù)圖像(如圖2 所示),結合函數(shù)圖像可知,當0＜x＜1 或x＞2 時,由f(x)=f(y)得x＜y;當1＜x＜2 時,由f(x)=f(y)得x＞y. 故選: C

圖2

評析通過例5、例6 我們可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:

1、若函數(shù)f(x) 和g(x) 在某一區(qū)間上單調遞增, 且恒有f(x) ＞g(x)(或f(x)＜g(x)), 若f(a) =g(b), 則有a＜b(或a＞b).

2、若函數(shù)f(x) 和g(x) 在某一區(qū)間上單調遞減, 且恒有f(x) ＞g(x)(或f(x)＜g(x)), 若f(a) =g(b), 則有a＞b(或a＜b).

第二板斧 運用泰勒展開公式

評注泰勒展開公式的一大用處就是進行數(shù)值估算,運用泰勒展開公式,抓住了問題的本質,過程簡潔明了,解題效率大大提高. 了解泰勒展開公式的有關知識,則可以居高臨下地分析問題、解決問題.

第三板斧 運用常見的函數(shù)型不等式

3.1 常見的對數(shù)型不等式

圖3

圖4

3.2 常見的指數(shù)型不等式

圖5

3.3 常見的三角函數(shù)型不等式

評析利用常見函數(shù)型不等式本質上就是利用我們平時積累的不等式將要比較的指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等不易看出大小的超越函數(shù)值進行放縮,用有理數(shù)表示其所在區(qū)間,從而能夠直觀的判斷其大小關系,化難為易,化隱性為顯性. 只要學生平時牢記這些常見的函數(shù)型不等式,就可以大大提高解決這類問題的速度.