對偶線性規劃理論的經濟意義

[摘 要] 舉例說明對偶線性規劃在企業生產中的經濟意義。

[關鍵詞] 對偶 線性規劃 影子價格

線性規劃在經濟活動中有著重要應用，它為經濟理論提供了一個很好的數量分析方法，尤其是線性規劃對偶理論的經濟意義——影子價格在資源利用、投資決策等方面有著重要作用。這里舉例說明它在企業活動分析中的重要作用。

定義:線性規劃問題

(Ⅰ)與(Ⅱ)

其中，，，，稱作互為對偶的線性規劃問題。

利用單純形法求解其中一個問題可同時給出兩個信息，一個是原問題的最優解，另一個是對偶問題的最優解——即各種資源的影子價格。

引理:若互為對偶的線性規劃問題(Ⅰ)和(Ⅱ)中任意一個有最優解，則另一個也有最優解，并且(Ⅰ)、(Ⅱ)的最優植相等。

由引理易得某一約束條件的影子價格表示為當它所對應的約束條件右端的常數增加一個單位時（假設原問題最優基不變），原問題目標函數最優值增加的數值。

例:某工廠利用甲、乙、丙三種原料生產B1，B2，B3，B4四種產品，每月可供該廠原料甲500噸，乙300噸，丙200噸。生產一噸不同的產品可獲得的利潤及生產一噸不同產品所消耗的原料數量見下表。

問工廠每月應如何安排生產計劃，使總利潤最大?

顯然，這屬于線性規劃問題。

設B1，B2，B3，B4四種產品分別生產1，2，3，4噸，根據題意得到線性規劃問題

由單純形表求得1=2=0，3=200，4=100/3松弛變量5=100/3，6=7=0，三種原料的影子價格分別為y1=0，y2=50，y3=250。在其它資源不變的情況下，通過對三種原料參數500，300，200的靈敏度分析得知，在保持其最優基不變的條件下，三種原料的變化范圍是甲≥1400/3，200≤乙≤350，0≤丙≤225，分析所得的結果可以得出:

1.當生產B3產品200噸，B4產品100/3噸，而不生產B1，B2產品時，總利潤最大，為65000元，此時甲種原料還剩余100/3噸未用，原料乙、丙沒有剩余。因此該廠在保證取得最大利潤情況下可考慮把剩余的甲種原料用于其它產品的生產為企業增加一部分轉讓基金。

2.由于影子價格較真實地反映了資源在經濟結構中最優決策下對總收益(目標函數)的影響和貢獻率大小，資源的影子價格越高，表明該種資源對總收益的貢獻越大，反之則越小，若等于零，則說明在最優決策下尚有閑置資源。比較三種原料的影子價格可知:原料丙的影子價格最大，對總利潤的增量最大即現有原料丙每增加1噸，最大利潤將增加250元，原料乙每增加1噸，最大利潤將增加50元，而原料甲每增加1噸，最大利潤不變。因此當該廠的產品不是國家計劃產品，而市場上原料丙的實際價格又小于影子價格250元時應首先考慮增加丙原料的投入來擴大生產，使利潤增加，由基變范圍可知最多增加25噸，使總利潤的增量達25050=6250元，但原料丙的噸價大于250元，這樣做就不合算了。同樣，可對乙進行分析。但原料甲的影子價格為零，說明在資源最優分配方案中有剩余，即再增加或適當減少總利潤不變，因此工廠可以有償轉讓一部分原料甲，給企業增加一部分轉讓基金，同時也可為其它部門提供部分原料，但最多出讓500-1400/3=100/3(噸）。

3.通過以上分析，國家可對最緊缺資源借助影子價格規定使用這種資源一單位時必須上繳的利潤額，以便控制一些經濟效益低的企業自覺地節約使用資源，使有限資源發揮更大的經濟效益。

以上僅是理論分析了對偶線性規劃在企業活動分析中的作用，它為管理者提供了一種決策的理論依據，實際在使用時還要結合經濟環境及企業的特點，綜合多方因素，為決策者提供科學的務實的量化資料。

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