淺談數(shù)學審美能力的培養(yǎng)

[摘要]:數(shù)學審美能力的培養(yǎng)是素質(zhì)教育的一部分，美是真理的光輝，數(shù)學美是數(shù)學發(fā)展的動力。數(shù)學自身的嚴謹、周密、精確、完整顯示了數(shù)學美。提高學生學習自覺性的關(guān)鍵是培養(yǎng)學生數(shù)學美感的能力，數(shù)學審美能力是培養(yǎng)學生感受數(shù)學美，鑒賞數(shù)學美，創(chuàng)造數(shù)學美的能力。

[關(guān)鍵詞]:審美 抽象性 鑒賞能力 和諧對稱

數(shù)學是一門美的科學，數(shù)學教學中到處可滲透審美教育，數(shù)學美的形式是多姿多彩的。簡單美、對稱美、相似美、和諧美、奇異美構(gòu)成數(shù)學美的主體，數(shù)學審美能力的提高對數(shù)學本身起著不可估量的作用。同時，數(shù)學審美能力的培養(yǎng)又是素質(zhì)教育的一部分。美是真理的光輝，數(shù)學美是數(shù)學發(fā)展的動力，數(shù)學自身的嚴謹、周密、精確、完整顯示了數(shù)學美，提高學生學習自覺性的關(guān)鍵是培養(yǎng)學生數(shù)學美感的能力，數(shù)學審美能力是培養(yǎng)學生感受數(shù)學美，鑒賞數(shù)學美，創(chuàng)造數(shù)學美的能力。

一、內(nèi)容之美，培養(yǎng)學生的審美能力

第六屆國際數(shù)學教育會議提出：“數(shù)學教育還必須將數(shù)學中所固有的美展示給學生，使學生不僅獲得知識，而且還要受到美的熏陶。”

首先，數(shù)學結(jié)構(gòu)的和諧美是令人賞心悅目的，它具有對應(yīng)性、對稱性、對偶性、同構(gòu)性等基本特征。這些特征不僅表現(xiàn)在數(shù)學表達形式的對稱和諧，還表現(xiàn)在數(shù)學內(nèi)容之間，函數(shù)的定義域與值域，定理的條件與結(jié)論，定義的內(nèi)涵與外延，不同的數(shù)學結(jié)構(gòu)之間的和諧對稱。和諧性使得對不同數(shù)學對象的研究能夠融會貫通。

其次，數(shù)學的奇異美使這個規(guī)律化、程式化的世界里常常出現(xiàn)意外的、新穎的、帶有獨創(chuàng)性的成果，令人興奮和激動。例如，由于生活實際和運算的需要，使數(shù)系得到一次次地擴展。從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的多次擴展中，人們發(fā)現(xiàn)自然數(shù)所服從的交換律和結(jié)合律在新的數(shù)系中都成立，幾乎使人們相信這是一條必然規(guī)律。然而，英國數(shù)學家哈密爾頓（Hamilton）在1843年發(fā)現(xiàn)了所謂的“四元數(shù)”，它保留了復(fù)數(shù)幾乎所有的性質(zhì)，但乘法的交換律卻不成立。這新穎的發(fā)現(xiàn)給人們以新的啟迪和新的探求欲望。在數(shù)學活動中，要親自體驗數(shù)學的奇異美，必須敢于向傳統(tǒng)的觀念和方法挑站。

第三，抽象美是數(shù)學所特有的美。數(shù)學的抽象性是最令人生畏的。如兒童憑借自己的經(jīng)驗，早已形成了對“點”的理解，而到了中學，幾何教師將“點”描述成是“沒有大小”的，“沒有大小”的東西是什么？它存在嗎？“沒有大小”的東西怎么能構(gòu)成有長度的“線”呢？所以當他們學習了幾何課的“點”反而不明白“點”究竟是什么了，并把這種困惑歸罪于數(shù)學的抽象性。然而，恰恰是這種抽象的、“沒有大小”的點的概念才最完美地刻劃出“點”的本質(zhì)：它是存在的，存在于空間某一確定的位置上；它沒有大小，不能進行任何形式的分割；它與空間任意接近它的另一點存在著差異?！皼]有大小”的點的概念概括了日常生活中“點”的最本質(zhì)的部分，它來自于具體事實，又高于具體事實。此外，數(shù)學問題的抽象化處理有益于問題的進地步拓廣和深化。例如，依賴于右圖，可以得到結(jié)論：“當且僅當ABAC=BDDC時，AD是∠A的內(nèi)角平分線。”如果刪除了圖形，再討論這個命題時，由于缺乏直觀，就必須慎重地處理“D”，于是得到一個比上面更完美的結(jié)論，它除子上述結(jié)論外，還包括AD是∠A的外角平分線的情況。又如，在正整數(shù)指數(shù)冪的運算中抽象出來的法則事實上也包括了有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)指數(shù)冪的情形，雖然后者的證明比前者復(fù)雜得多，但前者提示了后者成立的可能性，而這種提示只有通過抽象的形式才能達到。因此可以說，只有經(jīng)過數(shù)學的抽象才能更嚴密、更深刻、更完美地刻劃客觀現(xiàn)象，并幫助我們更概括地整理數(shù)學成果，它是一種深沉雅致的美。

筆者在教學中，力求從這些內(nèi)容上讓學生感受到他們的美，從而來培養(yǎng)學生的審美能力，激發(fā)學生對數(shù)學的興趣。

二、解題之美，培養(yǎng)學生的審美能力

在解題中，數(shù)學給我們的美感是各部分的和諧，是它們的對稱，是解題方法的巧妙，是推理的嚴謹、準確，是各部分的相互聯(lián)系。

解題時一旦題目提供的知識信息與學生的審美情感吻合，就會激起學生的審美直覺，從而迅速、正確地確定解題方法，解題思路、解題策略，數(shù)學解題是一種審美活動，是審美情感支配下對數(shù)學美的追求。

例如，算術(shù)平均值－幾何平均值不等式“”一般都用代數(shù)方法證明，但如果作出圖1，結(jié)合幾何的射影定理，這個不等式就成了一目了然的事實。因為在這個以a+b為直徑的半圓中，OA=a+b2，AB=ab而在直角三角形OAB中，顯然OA≥OB。又如對命題“周長為一定的矩形中，正方形的面積最大”的證明，一般用求二次函數(shù)極值的方法，但如果直接把周長相等的矩形和正方形設(shè)計成圖2的情形，則矩形的面積為m2-x2，而正方形的面積為m2，于是這個命題就成了不證自明的事實了。

再如，已知 A、B兩個村子在河CD的同側(cè)（如圖），現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，請你這個工程師為他們在CD上設(shè)計出水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費用最省。

問：學生如何利用數(shù)學的美來解決此題。

學生通過思考，很快就知道此題是利用數(shù)學的對稱美和應(yīng)用美來解決，從而提高學生的興趣。解法是：以CD為對稱軸，找出A或B的對稱點，連結(jié)B或A ，交CD于0點。

這些事實說明，數(shù)式與圖形之間的和諧對稱是直覺思維的橋梁，應(yīng)該利用這一橋梁，使數(shù)學的思維方法更活躍、更簡捷，學生從美學角度審視自己掌握的知識，能使他們的知識結(jié)構(gòu)更完整、更充實。

三、開發(fā)美的信息，培養(yǎng)學生的審美能力

數(shù)學美往往很含蓄，不是每個人都能領(lǐng)略到的。在教學中，教師要利用適當?shù)臋C會給予充分的提示。例如，在長度為1的線段AB上找一點C，使C滿足ABAC=ACCB。這是一道幾何計算題，學生很容易解出AC＝5-12。但他們也許不會知道此時的C點被稱為線段AB的黃金分割點，不會知道5-12為黃金比值。因此，可進一步說明，如果一個矩形的兩邊長具有黃金比值，則被稱為黃金矩形，為什么它被譽為“黃金”呢？因為它滿足古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯的一句至理名言：“凡是美的東西都具有共同的特性，這就是部分與部分，部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致?！边@種協(xié)調(diào)一致的密碼就是5-12。美術(shù)家的優(yōu)秀作品，其重心在黃金分割點上，建筑師巧奪天工的建筑，其矩形結(jié)構(gòu)大多是黃金矩形，莊嚴美麗的五角星上有許多黃金分割點……這些美的信息被充分開發(fā)后，誰能不被數(shù)學美所陶醉，不為數(shù)學美而驕傲呢？以此激發(fā)學生追求數(shù)學美的意愿，提高對數(shù)學美的鑒賞能力。

古代數(shù)學家、哲學家普洛克斯說：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！蔽覀冊诮虒W中有目的地培養(yǎng)學生的審美能力，提高學生對數(shù)學美的鑒賞能力，定會提高學生的解題能力，使學生用美的眼光學習數(shù)學，探索數(shù)學中美的奧秘，成為數(shù)學美的追求者。

（作者單位：遼寧遼陽市一職專）