淺談中考數學試題中三角板的應用

[摘要]:本文通過具體的試題，詳細的闡述了三角板在數學試題中的應用，希望借助這一類題目的解決來培養學生的探究能力。

[關鍵詞]:數學試題 三角板 應用

隨著新課程改革的深入實施，“提供新材料、創設新情境、提出新問題”已成為近幾年中考數學試題設計的新特點。《數學課程標準》明確指出：學生學習要從自身已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型，并進行解釋與應用的過程，倡導學生主動參與、勤于動手、樂于探究。要有一個“經歷、體驗、探索、猜想、證明”的過程，要讓學生參與到知識的發生、發展過程中，從而激發學生探求新知識的愿望，學會研究問題的策略和方法。而運用三角板進行命題，正好能恰到好處的達到這個目的。因而，近幾年在全國各地的中考試題中，三角板已備受青睞。

試題1：（蘇科版8下改編）如圖∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分線。

（1）將三角尺的直角頂點落在OC的任一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊垂直相交于點E、F，如圖1，比較PE、P F的長度，你能得到什么結論？

（2）將三角尺繞點P旋轉，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊所在直線相交于點E、F，如圖2、3、4、5、6，（1）中結論是否還成立？（其證明方法除下面分析中介紹的外，也可以利用圖5、6的結論。在圖4、5中也可以過P作PD⊥PF交OA于D，通過構造等腰直角三角形△POD，再證明三角形△PDE與△POF全等）。

分析：先從特殊位置入手猜想問題的可能結果，再在一般位置中進行推理驗證，是解決數學問題常用的思想方法。圖1從特殊位置入手，借助于角平分線的性質定理，學生很容易直觀得出：PE=PF，在圖2、3、4中只要想法構造出圖1的基本圖形，問題就好解決，故過P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，易得PN=PM，再證△PNE≌△PMF，即可得PE=PF。

在圖5、6中可知，△PEF（△POE、△POF重合為一個）為等腰直角三角形，故PE=PF。

變式一：不給出旋轉過程中的圖形，讓學生自己去畫圖形，將會更有探索性，更能培養學生的發散思維能力。

由這道題又可衍生出許多的中考題，從而培養學生思維的深刻性。

變式二：（06年黑龍江中考題）

（1）當PE與OA垂直時，OE、OF與OP之間有怎樣的數量關系？

（2）將三角尺繞點P旋轉到當PE與OA不垂直時，如圖2、3、4、5、6，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OE、OF與OP之間有怎樣的數量關系？

解析：在圖1中，由試題1的證明可知四邊形OFPE（OMPN）是正方形，所以，OE+OF= 22O P+ 22OP=2OP；在圖2、3、4中，仿照試題1易證△PNE≌△PMF，可得NE=MF，由圖1可知：ON+OM=2OP，故圖2中，OE+OF=ON－NE+OM+MF=ON+OM=2OP；圖3中，ON+OM=NE－OE+OF－MF=OF－OE=2OP，故OF－OE=2OP；在圖4中，ON+OM=OE－NE+MF－OF=OE－OF=2OP，故OE－OF=2OP。

在圖5、圖6中可知，OE=0或OF=0，故2OP2=OE2（或OF2），即OE+OF=2OP。

變式三：若OP的長度為a，則△POE，△POF的面積與a有怎樣的數量關系？

變式四:(08徐州市中考題)

如圖1，一副直角三角板滿足：AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF= 90°，∠EDF=30°。

操作：將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC交于點Q。

探究一：在旋轉過程中，如圖2，當CE:EA=1時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并給出證明；如圖3，當CE:EA=2時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并給出理由；根據你對（1）（2）的探究結果，試寫出當CE:EA=m時，EP與EQ滿足的數量關系式為，其中m的取值范圍是（直接寫結果，不必證明）；

解析：問題1，根據試題1的經驗，在圖2中作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，連接BE，由已知條件易得EM=EN。

（1）如果點M和點P重合，顯然EP=EQ；

（2）如果點M和點P不重合，則有∠MEP=∠NEQ=90°-∠PEN。所以，Rt△EMP≌Rt△ENQ，得EP=EQ，綜上可得：EP=EQ。

問題2，在圖3中作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，易得△AME∽△ABC，所以，EM:BC=AE:AC=1:3，EN:AB=2:3，且AB=BC，所以EM:EN=1:2，如果點M和點P重合，顯然EP:EQ=EM:EN=1:2；如果點M和點P不重合，Rt△EMP∽Rt△ENQ， EP:EQ=EM:EN=1:2。綜上：EP:EQ=1:2。

問題3，由上述問題1，2的結論，我們很容易得EP:EQ=1:m，考慮點E在AC上的特殊情況，能得出m的范圍是0﹤m≦2+6。

簡評：以上幾道題實則是一道題目從不同的角度進行考察，在平時的學習中只要善于觀察，多動腦想想，多動手畫畫，就會發現許多問題之間都存在著一定的聯系。這些題充分體現了“一題多變”和“一題多解”的特點，使學生在經歷、體驗、探索、猜想、證明的過程中，通過變與不變的分析，既能提高學生分析、判斷、解決問題的能力，又培養了學生應用創新的能力。這類題目的特點都是由學生通過閱讀、觀察、歸納、探索等手段，從題目提供的材料中發現規律、獲取相關的解題信息，從而解決問題。解決這些問題的關鍵是是構造“全等三角形”或“正方形”或“等腰直角三角形”。

以上各例均是把三角尺的直角頂點放在∠AOB的平分線上（或斜邊的中點或斜邊上），并繞直角頂點旋轉，若繞斜邊中點去旋轉，則有如下情況。

試題2：（06河北中考題）

如圖1，等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD的中點）按順時針方向旋轉。

（1）如圖2，當EF與AB相交與點M，GF與BD相交與點N時，通過觀察或測量BM、FN的長度，猜想BM、FN滿足的數量關系，并證明你的猜想。

（2）若三角尺GEF旋轉到如圖3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

分析：（1）BM=FN。由圖1可知，BO=FO，∠F=∠ABD =45°，又∠FON=∠BOM，所以△FON≌△BOM，則BM=FN。

（2）成立。由圖1可知，BO=FO ，∠GFE=∠ABD =45°，所以∠OFN=∠OBM，又∠FON=∠BOM，所以△FON≌△BOM，所以BM=FN。

總評：以上各題從不同的角度充分考查了學生“做數學”的能力。它們都是以我們熟悉的一些簡單的、動態的圖形為背景，讓學生通過親自旋轉三角尺，通過觀察、實驗、歸納、類比等活動探討圖形運動中的變量與不變量。通過對變與不變的分析，對自己的猜想進一步尋求證據，給出證明，能較好的考察學生對幾何圖形的把握水平；更有利于學生學習興趣、學習能力的培養；更能有效的體現《數學課程標準》的精神：要培養學生通過觀察、實驗、比較、類比、歸納等獲得數學猜想，并進一步尋求證據，給出證明或舉出反例的能力。

參考文獻：

[1]楊裕前.義務教育課程標準實驗教科書八年級（下冊）.江蘇科技出版社.

[2]2006年黑龍江省中考試卷和河北省中考試卷.

[3]2008年江蘇省徐州市中考試卷.

(作者單位：江蘇徐州高級中學）