季節性商品的貨物訂購問題

[摘要] 討論了在一個時期內商品的訂購價格有折扣，而且該商品的需求量是連續型隨機變量的訂購問題，得出了使利潤最大化的最佳訂購量的計算方法．

[關鍵詞] 運籌學 連續型隨機變量 折扣價格 期望

一、引言

在日常生活中，人們經常會遇到一些時效性很強、更新很快、不易保存、較短時間內就會失去貨物原有價值的商品，對于此類商品的零售商來講，該怎樣訂購貨物，才能使銷售利潤達到最大，同時又能盡可能地滿足顧客的需求呢？本文將給出一種解決這個問題的計算方法。

一般地，購買數量越多，商品單價就越低，數量大的客戶可享受各種批發價，即價格是定貨量的遞減函數，即

其中。同時社會對商品的需求量r也是不確定的，它是一個隨機變量。如果訂貨量過大，那么商品不能全部賣出會造成損失，如果訂貨量太小，那么銷售商因缺貨而失去了銷售機會。所以對于銷售商來說，確定一個合理的訂購數量，使銷售利潤最大，是非常重要的。

在一個時間周期T內，訂購數量為，。設每件商品的庫存銷售成本平均為C，每件商品零售價格為P，每售出一件商品利潤為k=P-Pi-C，若未售完，則每件過期商品的處理價或退貨價為，所以每件損失為。我們研究的目標是：訂購量為多大時，銷售商獲取的利潤的期望值最大？

二、連續型訂購問題

下面我們考慮連續型訂購和銷售問題，即訂購量和需求量r都取連續的非負實數。根據以往的銷售數據，我們做統計分析得到r的概率密度，當r<0時=0，而且。當銷售商的訂購量為，實際需求量為r時，它的利潤函數為

于是所獲得利潤的期望值為

（1）

其中， 。

由于訂購價格是分段函數，當時，，所以利潤的期望的最大值可能在處取得，也可能在區間內部的某駐點上取得。求導得

令，得駐點滿足 （2）

其中。

把滿足(1)式的記作，則利潤的期望的最大值只能在和中取得，對它們分別計算其對應的，其中的最大值對應的訂購量就是最佳訂購數量*。

三、實例分析

某季節性商品的銷售價格為16元，過期后處理價為5元，而且一定可以全部處理掉。根據商店以往經驗預測，該商品的銷售量 服從正態分布，平均值為3000，標準差為800，每單位商品在一個周期內的訂購、庫存、銷售等平均成本為1元，該商品的訂購價格為

問應進多少單位的該商品，才能使利潤最大？

解 當時，由公式（2），得。但2908不在此區間內。

當時，由公式（2），得。

當時，由公式（2），得。但3484不在此區間內。

所以最大利潤只能在處取得，由公式（1)分別求得對應的利潤期望值為

所以商店的最佳訂購量為3280單位，能獲得的最大盈利為63648元。

參考文獻：

[1]韓伯棠:管理運籌學[M].北京:高等教育出版社，2000

[2]常浩:有限計劃期內帶有折扣的庫存系統的優化及其定價．天津工業大學學報，2007，26(1)