Ｘ－１２季節(jié)調(diào)整與單位根檢驗(yàn)

[摘要] 在實(shí)際應(yīng)用中，人們常常基于季節(jié)調(diào)整數(shù)據(jù)做單位根及協(xié)整檢驗(yàn)。他們認(rèn)為季節(jié)調(diào)整剔除了季節(jié)相關(guān)性并且不會產(chǎn)生任何副作用，但是實(shí)際情況并非如此。本文針對X-12-ARIMA季節(jié)調(diào)整程序從理論和應(yīng)用的角度闡述季節(jié)調(diào)整方法對單位根及協(xié)整檢驗(yàn)的影響。以日本的消費(fèi)和收入數(shù)據(jù)為例，對ADF方法、PP方法和HEGY方法的檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比。

[關(guān)鍵詞] 季節(jié)調(diào)整 單位根 協(xié)整

一、X-12季節(jié)調(diào)整的基本原理

二十世紀(jì)以來，隨著經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)信息在收集及發(fā)布上的增長及系統(tǒng)化，大量的工作致力于構(gòu)建季節(jié)調(diào)整方法來剔除經(jīng)濟(jì)時間序列中的季節(jié)性。季節(jié)調(diào)整方法基于構(gòu)成因素分解剔除原始數(shù)據(jù)中季節(jié)性因素，美國的X-11程序以及它的升級版本X-12-ARIMA程序使用最為廣泛。

在這些季節(jié)調(diào)整程序中，經(jīng)濟(jì)時間序列常常被分解為幾個相互正交的構(gòu)成因素：趨勢-循環(huán)因素、季節(jié)因素和不規(guī)則因素。常用的是下面四類模型:乘法模型;加法模型;對數(shù)加法模型;擬加法模型。在乘法模型中，假定時間序列由趨勢項(xiàng)-循環(huán)、季節(jié)因素以及不規(guī)則因素組成，即

（1）

其中，、和分別表示趨勢項(xiàng)-循環(huán)（經(jīng)濟(jì)周期）、季節(jié)因素以及不規(guī)則因素。X-12-ARIMA季節(jié)調(diào)整程序的處理過程大體可以分為建模、季節(jié)調(diào)整和診斷三個階段[參見Findley等(1998)]。基于移動平均法，X-12-ARIMA通過幾次迭代對數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，每一次對組成因子的估算都進(jìn)一步精化。根據(jù)各種季節(jié)調(diào)整的目的，可以選擇不同的計(jì)算方式，在計(jì)算過程中可根據(jù)數(shù)據(jù)中隨機(jī)因素的大小，采用不同長度的移動平均。在不做選擇的情況下，也能根據(jù)事先編入的統(tǒng)計(jì)基準(zhǔn)，按數(shù)據(jù)的特征自動選擇默認(rèn)的計(jì)算方式。

已有大量的文獻(xiàn)主要是對季節(jié)調(diào)整的原理、濾子的形式和性能等進(jìn)行研究，隨著對季節(jié)單位根、協(xié)整研究的不斷深入，季節(jié)調(diào)整對序列的單位根和協(xié)整檢驗(yàn)會產(chǎn)生怎樣的影響引起越來越多的關(guān)注。

二、對單位根檢驗(yàn)的影響

在默認(rèn)選項(xiàng)下，X-11季節(jié)調(diào)整濾子近似等價(jià)于一個線性濾子[Young(1968)，Ghysels等(1996)]。假定用一個已知線性濾子對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，定義 (T+1)×(T+k+l+1)濾子矩陣F如下

（2）

其中是雙邊濾子的權(quán)數(shù)。通過矩陣F將一個樣本容量為T+k+l+1的數(shù)據(jù)集過濾為一個有T+1個觀測值的數(shù)據(jù)集。對于數(shù)據(jù)定義濾波后的數(shù)據(jù)集和濾波前的數(shù)據(jù)集yU=Uy，其中。

假若濾子是一個對稱的雙邊濾子(v-i=vi）并且 ，則它滿足:（1)關(guān)于常數(shù)和時間趨勢具有不變性；（2）當(dāng)其濾子矩陣F作用于季節(jié)啞變量后，將得到一個常數(shù)矩陣，元素為季節(jié)均值之和。將濾子表示為滯后算子的多項(xiàng)式，有。從而，v(1)=1的對稱濾子可以消除序列中確定性季節(jié)因素的影響。

我們考慮如下回歸估計(jì)式

yt=ayt-1+εt（3）

（未）過濾數(shù)據(jù)的自回歸參數(shù)估計(jì)量為

i=U或F （4）

1.數(shù)據(jù)生成過程為單位根過程

如果數(shù)據(jù)生成過程為

yt=yt-1+zt（5）

其中是一個平穩(wěn)可逆（允許具有季節(jié)性）的ARMA過程。從而，有

yFt-1=v(L)yt-1+v(L)zt=yFt-1+ωt（6）

其中，是一個平穩(wěn)可逆的ARMA過程。則當(dāng)時，有（依概率收斂）。由(6)式有，

從而

同理，[參見Phillips(1986)]。可見，當(dāng)數(shù)據(jù)生成過程含有單位根時，隨著樣本容量增加，估計(jì)量與均收斂于1。因此，采用過濾后的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)不會產(chǎn)生漸近偏差。

雖然統(tǒng)計(jì)量T(－1)與T(－1)的極限分布不同，這是因?yàn)樽儞Q后的誤差項(xiàng)相關(guān)結(jié)構(gòu)與變換前是不同的，并且擾動過程zt與wt的方差也是不同的。但是采用過濾前和過濾后數(shù)據(jù)所得的Dickey-Fuller和Phillips-Perron 統(tǒng)計(jì)量的漸近分布是相同的[見Fuller（1996）]，這是因?yàn)椋瑪_動過程zt與wt均滿足（對其部分和）應(yīng)用泛函中心極限定理的各種條件；在這兩個統(tǒng)計(jì)量計(jì)算過程中均對誤差的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了修正從而有效地消除了漸近分布對誤差的相關(guān)性的依賴[參見Phillips（1986），Phillips和Perron（1988）等]。

單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布不受數(shù)據(jù)是否被過濾的影響，并非意味著單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的有限樣本分布也不受影響。Ghysels和Perron（1993）的擬合結(jié)果表明，采用過濾前和過濾后數(shù)據(jù)所得的單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的有限樣本分布可能完全不同。這種偏倚在單位根檢驗(yàn)中具有實(shí)際意義。當(dāng)原始數(shù)據(jù)的季節(jié)滯后項(xiàng)之間具有相關(guān)性時，若采用X-11濾子，則除非自回歸模型的階數(shù)不小于季節(jié)周期，否則回歸系數(shù)的偏移是固有的。當(dāng)滯后階數(shù)小于季節(jié)周期時，盡管季節(jié)調(diào)整（可能不完全）排除了數(shù)據(jù)在季節(jié)頻率上的自相關(guān)，但是它在自相關(guān)函數(shù)中產(chǎn)生了一個（不會漸近消失的）偏倚。對于Dickey-Fuller類單位根檢驗(yàn)，為了避免統(tǒng)計(jì)量的偏移，自回歸式的階數(shù)至少與季節(jié)周期一樣長。因此，數(shù)據(jù)的季節(jié)調(diào)整并不能容許自回歸階數(shù)的降低。由于使用季節(jié)調(diào)整后數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)時需要自回歸階數(shù)至少與季節(jié)周期一樣長，因此有理由預(yù)期根據(jù)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)的功效要大于使用季節(jié)調(diào)整后數(shù)據(jù)時單位根檢驗(yàn)的功效。實(shí)際上，在絕大多數(shù)基于季節(jié)調(diào)整數(shù)據(jù)所做的Dickey-Fuller（1981）檢驗(yàn)中，并未遵循這一規(guī)則。他們認(rèn)為季節(jié)調(diào)整剔除了季節(jié)性相關(guān)性并且不會產(chǎn)生任何副作用，而采用了較短的滯后階數(shù)。這樣做的結(jié)果使得單位根檢驗(yàn)的功效降低。

2.數(shù)據(jù)生成過程為平穩(wěn)ARMA過程

當(dāng)過程yt是一個平穩(wěn)可逆的ARMA過程時，回歸式 (3)中參數(shù)的估計(jì)的極限

（7）

其中為過程yt的滯后j期的自協(xié)方差。對于過濾后的數(shù)據(jù)，同理有

（8）

令m表示對稱多項(xiàng)式v(L)的階數(shù)，則有

（9）

將的漸近偏倚記作，利用(7)式—(8)式可得

（10）

當(dāng)給定原始序列yt的協(xié)方差結(jié)構(gòu)時，我們可以通過(10)式計(jì)算 的漸近偏倚。Ghysel 和Perron(1993)證明在線性X-11濾子情形下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量發(fā)生漸近偏倚，并且這種偏倚是正的，即 的極限大于 的極限。這種向上的偏移使得采用濾波后數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)的檢驗(yàn)功效降低。

Ericsson， Hendry 和Tran(1994)證明當(dāng)對稱雙邊濾子的權(quán)和為1時，濾波對協(xié)整關(guān)系沒有影響，而且檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布也不發(fā)生改變。此結(jié)果不僅適用于單方程協(xié)整方法而且可以推廣至向量協(xié)整方法。上述結(jié)論是漸近成立的，在實(shí)際應(yīng)用中小樣本下濾波可能對協(xié)整檢驗(yàn)產(chǎn)生嚴(yán)重影響。Ericsson等（1994）在對英國貨幣需求方程的實(shí)證研究中，證實(shí)了這種現(xiàn)象的確存在。

參考文獻(xiàn):

[1]Dickey， D.A. and W.A. Fuller(1981)， “Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root，” Econometrica 49，1057～1072

[2]Fuller， W. A. (1996)， Introduction to Statistical Time Series， New Yoke: Whey 2nd ed