隨機存儲問題的（ｓ，Ｓ）概率模型

[摘要] 隨機模型作為一種概率模型，在問題中如果必須考慮隨機因素對研究對象的影響時，有著不可替代的優勢。本文研究隨機存儲問題，針對問題本身特點，在合理假設基礎上，建立了隨機存儲問題的（s，S）概率模型，進行求解，并給出評注。

[關鍵詞] 存儲問題 隨機變量 （s，S）隨機存儲策略

一、隨機存儲問題簡介

存儲論是運籌學的重要分支之一，現實生活中到處都可以碰到存儲問題。如某商場購進某種批發商品，買的數量越多，價格越便宜，獲利越大，但買得越多，占用資金越多，占用庫存越大，且如果太多還會造成積壓，又要削價處理，人力物力都受損，如果一次進貨太少，價格高，訂貨費增加，又易發生缺貨現象，失去銷售機會而減少利潤，這就產生了進多少商品使商場獲利最大的問題，也就是一個存儲問題。又如某工廠按現有人員編制每年可生產一定數量的某種產品，而生產這種產品需用一定數量的某種原材料，這種原材料不需每日供應，但不得缺貨，缺貨將導致停工待料，影響生產計劃，每次訂購原材料需要費用，定購次數越多，費用越大，但為節約訂購費用又不能訂購次數太少，訂購次數少，勢必每次訂購原材料多，每月的原材料保管費就增大，那么最佳的訂購量和訂貨次數又是多少呢？這仍是存儲問題。像商品進貨這類問題，由于需求具有隨機性，稱這類存儲問題為隨機存儲問題；像工廠進原材料這類問題，需求是確定的，這類問題稱為確定性存儲問題。

二、（s，S）型隨機存儲問題提出及分析

商店在一周內的銷售量是隨機的，每逢周末經理要根據存貨的多少決定是否訂購貨物，以供下周銷售。適合經理采用的一種簡單的策略是制定一個下界s和一個上界S，當周末存貨量不少于s時就不訂貨，當存貨少于s時則訂貨，且訂貨量使得下周初的存量達到S。這種策略稱為（s，S）隨機存儲策略。為使問題簡化，只考慮訂貨費、儲存費、缺貨費和商品購進價格，存儲策略的優劣以總費用為標準。顯然，在平均意義下的總費用與（s，S）策略、銷售量的隨機規律，以及單項費用的大小有關。

三、（s，S）型隨機存儲問題模型的假設、建立與求解

為敘述方便起見，時間以周為單位，商品數量以件為單位，我們作以下假設：

1.每次的訂貨費為C0（與數量無關），每件商品的購進價為C1，每件商品一周的儲存費為C2，每件商品的缺貨損失為C3。C3相當于售出價，所以C1＜C3。

2.一周的銷售量r是隨機的，r的取值很大，可視為連續型隨機變量，其概率密度函數為p(r)。

3.記周末的存貨量為，訂貨量為，并且訂貨后能立即到貨，于是下周初的存貨量為+。

4.一周的銷售是集中在周初進行的，即一周的儲存量為+-r，它不隨時間而改變。

按制定（s，S）策略的要求，當周末存貨量≥S時，訂貨量 ＝0;當0且令 +＝S，確定s，S應以“總費用”最小為標準，因為銷售量r的隨機性，儲存量和缺貨量也是隨機的，致使一周的儲存費和缺貨費也是隨機的，所以目標函數應取一周總費用的數學期望，即長期經營中每周期費用的平均費用，下面簡稱平均費用。

由假設可知平均費用為:

（1）

其中(2)

我們先在>0的情況下，求，使 達到最小值，從而確定S。為此計算:

(3)

令，記，并注意到，可得:

(4)

這就是說，訂貨量 加上原來的存貨量 達到（4）式所表示的S，可使平均費用最小。由（4）式可以知道，當商品購進價C1一定時，儲存費C2越小，缺貨C3越大，S應越大，這與常識是相符的。

s應為方程的最小正根。

四、模型的有關評注

這個模型只考慮一周的存儲與需求，稱為單時段的隨機存儲策略，其實還可以考慮多時段的情形。此模型中需求是連續型的隨機變量，如果需求是離散型的隨機變量，只需將上面的積分號改成求和號同樣可以求解。

參考文獻：

[1]劉元亮等:科學認識論與方法論[M]．清華大學出版社，1987

[2]姜啟源謝金星:數學模型[M]．高等教育出版社，2003

[3]王以治胡元明:數學建模[M]．華中科技大學出版社，2006