快速求解單項(xiàng)選擇題的方法和技巧

[摘要]本文介紹了高等數(shù)學(xué)考試中單項(xiàng)選擇題的三種解題方法和技巧，同時指出在解題時除了要掌握各種解題方法和技巧外，更要注意每種技巧方法的條件要求。

[關(guān)鍵詞]直接法 排除法 特例法

高等數(shù)學(xué)考試中選擇題一般是單項(xiàng)選擇題。從目前情況看，學(xué)生在這部分得分率較低，分析其原因主要在于很多學(xué)生沒有很好地掌握做選擇題的解題方法和技巧。做單項(xiàng)選擇題常用的解題方法有三種：一是直接驗(yàn)證某個選項(xiàng)正確，則其余選項(xiàng)必定不正確（不必驗(yàn)證），這種方法稱為直接法。二是驗(yàn)證其中三個不正確，則剩余的一個必定是正確的（也不必驗(yàn)證），這種方法通常稱為排除法。三是根據(jù)題干中的條件，選取特殊的對象找出正確選項(xiàng)，這種方法通常稱為特例法。下面結(jié)合具體問題來說明如何利用這三種方法快速求解單項(xiàng)選擇題。

一、直接法

說明：直接法就是利用題干中的條件直接驗(yàn)證某個選項(xiàng)正確，通常有兩種途經(jīng)：一種是利用題干中的條件直接計(jì)算或推演得出某個選項(xiàng)正確，這種方法通常稱為推演法；另一種方法是借助于幾何分析得出正確的選項(xiàng)，這種方法稱為幾何法。下面舉例說明推演法和幾何法的應(yīng)用。

1.推演法

提示：若題目中備選答案為“數(shù)值”或某種運(yùn)算率，或題干給出的某種運(yùn)算形式時，常用推演法。

[例1]設(shè)λ=2是非奇異矩陣A的一個特征值，則矩陣13A2-1有一個特征值等于（）

（A）43（B）34（C）12（D）14

解：注意到13A2-1=

（A-1）2由于λ為A的特征值，則A-1有特征值1λ，于是3（A-1）2有一個特征值3（12）2=34故應(yīng)選（B）

[例2]設(shè)f(x)為可導(dǎo)且以2為周期函數(shù)，滿足f(+x)+2f(1-x)=3x+sin2x則曲線f(x)在x=3處的切線斜率為（）

（A）0；（B）1；（C）2；（D）-1

解：因?yàn)閒(x)可導(dǎo)，所以f(x)連續(xù)，固有l(wèi)imx→［f(1+x)+2f(1-x)］=3f(1)，從而

[例3]若隨機(jī)變量X與Y滿足D(X+Y)=D(X-Y)則必有()

(A)X與Y相互獨(dú)立 (B)D(Y)=0 (C)X與Y不相關(guān) (D)D(X)gD(Y)=0

解：

2.幾何法

提示：該方法適用于：高等數(shù)學(xué)中已知函數(shù)圖形特征（對稱性、奇偶性、漸進(jìn)性、單調(diào)性、凸凹性）或概率中兩事件的概率關(guān)系（一般用文氏圖分析）或已知概率分布密度函數(shù)圖形特征的題目。利用幾何法解選擇題時，一定要對題目中所涉及概念的幾何意義非常清楚。

[例4]若f(-x)=f(x)，x∈（-∞，+∞），在（-∞，0）內(nèi)f′（x）＞0且f″（x）＜0，則在（0，+∞）內(nèi)（）

解：由f(-x)=f(x)知，f(x)為偶函數(shù)，因此y=f(x)的圖形關(guān)于y軸對稱，而由在(-∞，0)內(nèi)f′（x）＞0且f″（x）＜0可知，在(0，+∞)內(nèi)y=f(x)的圖形是單增下凹的，因此在(0，+∞)內(nèi)y=f(x)的圖形是單減下凹的，故應(yīng)選(C).

[例5]設(shè)兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N(0，1)和N(1，1)則()

解：由于相互獨(dú)立正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線形組合任服從正態(tài)分布，且X+Y:N(1，22)，X-Y:N(-1，22)由正態(tài)分布的幾何意義知，正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于均值左右對稱，則其小于均值的概率為12，因此正確選項(xiàng)為(B).

[例6]設(shè)隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)是φ(x)，且φ(-x)=φ(x)，F(xiàn)(X)是ξ的分布函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)a，有( )

解:由φ(-x)=φ(x)知， φ(x)為偶函數(shù)，其圖形關(guān)于y軸對稱，由幾何意義可設(shè)F(-a)=S，則S1+S2=12，因此.

二、排除法

說明：該方法通常用于由題干中的條件，不易判斷正確選項(xiàng)的選擇題，尤其適用于抽象函數(shù)的命題。一般做法是通過適當(dāng)?shù)姆蠢懦徽_的選項(xiàng)后，得到正確的結(jié)果。

[例7]設(shè)f(x)處處可導(dǎo)，則( )

[例8]向量組α1，α2，…，αm(m≥2)線性相關(guān)充分必要條件是（ ）

(A)其中每一個向量都是其余m-1個向量的線性組合;

(B)α1，α2，…，αm中至少有一個是零向量;

(C)α1，α2，…，αm中任意兩個向量成比例;

(D)α1，α2，…，αm中存在一個向量可由其余m-1個向量線性表出.

解:若(A)成立，則α1，α2，…，αm線性相關(guān)。但反之，α1，α2，…，αm線性相關(guān)得不到每個向量都可由其余向量線性表出的結(jié)論。例如，α1=(1，0)T，α2=(0，1)T，α3=(1，0)T線性相關(guān)，因?yàn)棣联?可由線性表出：α3=α1+0α2但α2不能由α1，α3表出。故(A)只是α1，α2，…，α3（m≥2）線性相關(guān)的充分條件，但不是必要條件。

若（B）成立，則α1，0，…，αm線性相關(guān)。但反之，α1，α2，…，αm線性相關(guān)，并不一定包含零向量，如上例。故(B)也是充分條件，但不是必要條件。

若(C)成立，即任意兩個向量成比例，得任意兩個向量線性相關(guān)。設(shè)α1，α2線性相關(guān)，增加向量個數(shù)到α1，α2，…，αm仍然相關(guān)。反之，α1，α2，…，αm線性相關(guān)。如上例α1=(1，0)T，α2=(0，1)T，α3=(1，0)T線性相關(guān)。但α1，α2不成比例。

據(jù)向量組線性相關(guān)判別的充分必要條件，應(yīng)選(D)

[例9]設(shè)兩個函數(shù)f(x)，g(x)都在x-a處取得極大值，則F(x)=f(x)g(x)在x=a處( )

(A)必取得極大值；(B)必取得極小值；(C)不可能取極值；(D)是否取極值不能確定.

解：令f(x)=g(x)=0，x=0，

-1，x≠0.顯然x=0是f(x)，g(x)的極大值點(diǎn)，但F(x)=f(x)g(x)=0，X=0，

1，X≠0.可見x=0不是F(x)的極大值點(diǎn)，而是極小值點(diǎn)。故(A)，(C)不對。令f(x)=g(x)=1，x=0，

0，x≠0.顯然x=0是f(x)，g(x)的極大值點(diǎn)，但F(x)=f(x)g(x)=1，x=0，

0，x≠0.可見x=0是F(x)的極大值點(diǎn)，(B)不對。故應(yīng)選(D).

三、特例法

說明：該方法的適用范圍與排除法類似，但選項(xiàng)中的結(jié)論無不確定的選項(xiàng)。此時對抽象對象構(gòu)造符合題干條件的特殊例子，確定出正確的選項(xiàng)。

[例10]已知f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且則在點(diǎn)x=0處f(x)( )

(A)不可導(dǎo)；(B)可導(dǎo)且f′(0)≠0；(C)取得極大值；(D)取得極小值.

解:由于當(dāng)x→0時，1-cosx:x22，所以令f(x)=x2則f(x)符合條件。而f(x)在x=0處可導(dǎo)，f′(0)=0，取極小值，則正確選項(xiàng)為(D).

[例11]設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1等于()

(A)A-1+B-1; (B)A+B; (C)A(A+B)-1B; (D)(A+B)-1.

解(1)：（常規(guī)解法）因?yàn)?A-1+B-1)-1=(A-1+B-1AA-1)-1=A(B-1B+B-1A)-1=A(A+B)-1B，故(C)正確。

解(2)：（特例法）取A=I，B=2I則(A-1+B-1)-1=23I直接計(jì)算應(yīng)選(C).



參考文獻(xiàn)：

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(作者單位：河南洛陽理工學(xué)院）