小概率事件原理的應用

[摘要]小概率事件原理是概率論中實用價值較高、應用泛圍較廣的基本理論，本文從實際生活的典型事例出發，運用該原理來分析解決此類問題，從而揭示獨立重復隨機試驗中，小概率事件發生的必然性。

[關鍵詞]概率統計 小概率事件 假設檢驗 應用

一、問題的提出

在概率統計中，為了研究隨機現象，必須計算種種隨機事件的概率，由于隨機現象的多樣性，我們不得不研究各種數學模型，并對每一種模型進行具體分析。

問題（萬峰湖魚數量）：假設從萬峰湖里捕了1000條魚，系上紅線后，放回去，過了一段時間后，又捕了1000條魚，現在其中5條魚系著紅線，試估計湖中魚的總數。

此問題可用不退還抽樣的概率公式求其估計值。我們將重點探討如何利用小概率事件檢驗關于湖中魚的個數的假設。

二、小概率事件的認識

一小概率事件，不管其概率是多么小，其值總是一個確定的正數。該事件隨著試驗次數的不斷增加，遲早會發生的概率趨近于1。事實上，假如在某個隨機試驗中，事件A的概率為

P（A）=ε，ε是一個充分小的正數，則不論ε如何小，只要不斷獨立地重復這一試驗，事件A總是會發生的（即A發生的概率為1）。

設以A k表示事件A于第k次試驗中發生這一事件，則P（A k）=ε。

從而在前n次試驗中，A都不發生的概率為：

故在前n次試驗中，A至少發生一次的概率為：

當n→∞時，由于0＜ε＜1，有limn→∞pn=1

記事件Bn={前n次試驗中A至少發生一次}，則必有

這就說明了雖然事件A在一次試驗中發生的概率很小，但在不斷地重復獨立試驗中，A總會發生。

在概率論的基礎理論研究中，大量隨機現象具有某種穩定的性質，例如頻率的穩定性，平均結果的穩定性等等，它反映了偶然性與必然性之間的辯證關系。為了揭示這種實際上的必然性或實際上的不可能性，我們對概率接近于1或0的事件的研究，具有重大的意義。概率論的基本問題之一，就是要建立概率接近于1或0的規律。特別是對大量獨立或弱相關因素的累積結果所發生的規律的研究，將導致“依概率收劍”和“依概率1收劍”等概念的產生，與此同時，相應的（弱）大數定律和強大數定律的研究也應運而生。

三、不退還抽樣的計算公式

現在就假定有形狀完全相同的N個球裝在壇子里，其中N1個是白的，N2個是黑的，我們從壇子里抽n個球，在抽的時候我們并不知道它的顏色。這里有兩種情況：一種是抽出的球看了它的顏色之后再放到壇子里去；一種是抽出的球不再放回去，前者稱為退還抽樣，后者稱為不退還抽樣。

不退還抽樣：這是在實際應用時常見的情形，即從N個事物組成的母體中抽出大小為n的一個子樣，這種情形對于統計抽樣技術是很重要的。

在這種情形，我們顯然必須要求n≤N，此外，顯然所求的概率當v＞N1或n-v＞ N2時為零，因為樣本中白球的個數不可能大于N1，黑球的個數不可能大于N2，對于其它v的值，我們可借助古典概型，計算其概率，由N個事物中抽取n個共有N

n種方法，有利于我們事件發生的方法共有N1

v#8226;N2

n-v種方法，于是有v個白球，n-v個黑球的概率計算公式為：

具體問題：為了估計湖中的魚數N，自湖中捕出r條魚，做上記號放回湖中；然后再從湖中捕出s條魚，結果發現這s條魚中有ξ條標有記號。這里N是未知常數，r、s是已知常數，試問應如何估計N的值？

問題分析：

由不退還抽樣，則知事件{X=ξ}的概率由超幾何分布所確定，代入上公式（*）有：

其中RV-ξ為整數，是第二次捕出的有記號的魚數，且滿足

四、小概率事件在假設檢驗中的應用

設有一統計假設H，當H正確時，事件A是一個小概率事件，即它發生的可能性很小，在一次試驗中，我們實際上可以認為A不會發生。做一次試驗，如果A發生了，則我們有理由懷疑假設H的正確性，從而拒絕H，如果A沒有發生，我們就接受H。于是小概率事件，為我們提供了檢驗統計假設的方法。下面介紹利用小概率事件檢驗關于湖中魚的個數的假設。

萬峰湖魚數量問題解答：

我們假定兩次捕魚都是從全部魚中隨機地進行的，并且在第二次捕魚時，魚的數量未發生變化，如果變化不大，對研究問題的影響也可忽略不計。

令 N=湖中魚的總數（未知）

r =第一次捕魚的魚數=1000

s =第二次捕的魚數=1000

ξ=第二次捕的魚中系著紅線的魚數=5

Pξ(N) =第二次捕的魚中恰有ξ條系紅線的魚的概率

由不退還抽樣的計算公式(*)有：

上式中，s、r和ξ是可以觀察到的，而N是未知的，但我們知道，已有s + r -ξ條魚被捕到過，從而s + r -ξ≤N，在我們的例子里s + r -ξ =1000+1000-5=1995，故我們可以肯定湖中至少有1995條魚，但如果我們作一假定N=1995，則

利用stirling公式：

可知它是一個很小的數，其數量級為10--430，即在n=1995的假設下，第二次捕1000條魚有5條系紅線是一個概率很小很小的事件，而小概率事件在一次試驗中幾乎不會發生。因此，我們傾向于拒絕N=1995條的假設。

同理N很大，例如N=108這一假設，也必須拒絕，怎么辦？

我們想辦法找一個，使得Pξ(N)當N=時最大，這個叫做N的極大似然估計。由極大似然原理的直觀想法：一個隨機試驗如有若干個可能的結果A、B、C…..。若在一次試驗中，結果A出現，則一般認為試驗條件對A發生有利，也即A出現的概率最大。

為了找考慮比值：

故我們就把=200000看作是對湖中魚的總數所作的合理的估計。

上面給出的方法具有一般性，可用同樣方法估計一個城市的人口總數或汽車總數。這種檢驗法本身并不是從邏輯上嚴格論證假設H的正確與否，在數理統計中我們不能證明任何統計假設的真偽，而是對統計假設作出拒絕或接受的選擇。

在利用小概率事件檢驗假設H時，我們可能犯兩種錯誤。如果H真，我們拒絕了它，我們犯了第一類錯誤。因為只有當小概率事件A發生時，我們才拒絕H，故犯第一類錯誤的概率為P（A）。也有時H不真，我們接受了它，這時我們犯了第二類錯誤。

在數理統計中，制定檢驗法時，常常是先控制犯第一種錯誤的概率，然后使犯第二種錯誤的概率盡可能地小。

參考文獻：

[1]魏宗舒.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]馬文.概率應用及思維方法[M].重慶：重慶大學出版社，1989.

（作者單位：貴州黔西南民族師范高等專科學校）