聚焦中考中的不等式（組）

不等式（組）是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是歷年各地中考的必考內(nèi)容.近年來，不等式（組）的考查方式主要有選擇題、填空題、解答題等.或直接考查知識點，或與其他知識相結(jié)合，考查知識的應(yīng)用.

不等式的基本性質(zhì)，不等式（組）的解法、解集、特殊解以及不等式（組）的應(yīng)用涉及到的內(nèi)容非常多，幾乎涵蓋了所有學(xué)過的內(nèi)容，多以綜合題的形式出現(xiàn)，重點考查同學(xué)們的綜合應(yīng)用能力.

一、一元一次不等式

1.不等式的基本性質(zhì)

例1 （08年湖北恩施考題）如果a＜b＜0，下列不等式中錯誤的是（）.

A. ab＞0B. a+b＜0C.＜1D. a-b＜0

分析：本例應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)或有理數(shù)運算的符號法則逐個驗證，最后得出結(jié)論.

解：由a＜b＜0可知，a，b均為負(fù)數(shù)，而兩個負(fù)數(shù)的積為正，故A正確；

由a＜b＜0可知，a，b均為負(fù)數(shù)，而兩個負(fù)數(shù)的和仍然為負(fù)，故B正確;

由a＜b，兩邊同除以b，因為b＜0，不等號應(yīng)改變方向，即應(yīng)為＞1，故C不正確;

由a＜b，兩邊同減去b，不等號不改變方向，即應(yīng)為a-b＜0，故D也正確.

綜上所述，只有C不正確.

評注:牢記不等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵。不等式的兩邊同乘以（或同除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號要改變方向.

2.不等式的解法

例2 （08年江蘇泰州考題）已知關(guān)于x的不等式ax+3＞0（其中a≠0）.當(dāng)a=-2時，求此不等式的解，并在數(shù)軸上表示此不等式的解集.

分析：將a=-2代入，得一元一次不等式，通過解不等式得到解集.

解：當(dāng)a=-2時，不等式為-2x+3＞0，

移項，得-2x＞-3，

化系數(shù)為1得，x＜；

解集在數(shù)軸上表示如圖所示：不包括該點，則用空心圓圈表示.

評注: 解一元一次不等式的一般步驟同解一元一次方程的一般步驟相同，但必須注意的是：不等式兩邊同乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向一定要改變.

3.不等式的解集在數(shù)軸上的表示

例3 （08年湖北武漢考題）不等式x＜3的解集在數(shù)軸上表示為（)

分析：不等式x＜3的解集在數(shù)軸上表示，應(yīng)為在3所對應(yīng)的點的左側(cè)，且表示3的點用空心圓圈表示.對照圖形，只有B符合.

評注：不等式的解集在數(shù)軸上的表示要注意兩點：①大于某個數(shù)，則表示在該數(shù)所對應(yīng)的點的右側(cè)；小于某個數(shù)，則表示在該數(shù)所對應(yīng)的點的左側(cè)；②包括某個數(shù)，應(yīng)將這個數(shù)所對應(yīng)的點用實心圓點表示；不包括某個數(shù)，應(yīng)將這個數(shù)所對應(yīng)的點用空心圓圈表示.

二、一元一次不等式組

1.不等式組的解集在數(shù)軸上的表示

例4 （08年四川涼山州考題）不等式組-x≤2x-2＜1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）.

A.B. C. D.

分析：先求出組成不等式組的每一個不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法，將它們一一表示出來.不等式-x≤2的解集為x≥-2，在數(shù)軸上表示為在-2所對應(yīng)的點的右側(cè)，且表示-2的點用實心圓點表示；不等式x-2＜1的解集為x＜3，在數(shù)軸上表示為在3所對應(yīng)的點的左側(cè)，且表示3的點用空心圓圈表示.

評注：在數(shù)軸上表示解集要注意兩點：①在該點的左側(cè)還是右側(cè)；②是否包括該點.

2.求不等式組的解集及其特殊解

例5 （08年江蘇徐州考題）

解不等式組＞-12x+1≥5（x-1），并寫出它的所有整數(shù)解.

分析：求不等式組的整數(shù)解，要先求出不等式組的解集，即先求出不等式組中各個不等式的解集的公共部分，然后再列出解集中所包含的整數(shù).

解：不等式＞-1的解集為x＞-2；

不等式2x+1≥5（x-1）的解集為x≤2.

所以不等式組的解集為-2＜x≤2，

所以不等式組的整數(shù)解為-1，0，1，2.

評注：這類試題主要考查解不等式組的能力和對特殊解的理解.確定不等式組的解集可利用口訣，也可借助數(shù)軸.

3.求不等式組中字母系數(shù)的取值范圍

例6 （08年山東聊城考題）已知關(guān)于x的不等式組x-a＞01-x＞0的整數(shù)解共有3個，則a的取值范圍是 ．

分析: 本例有一定難度，先求出不等式組的解集，即x的取值范圍，然后根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個數(shù)確定其整數(shù)解，再借助數(shù)軸進行直觀分析，得到a的取值范圍.

解：由x-a＞0得x＞a；由1-x＞0，得x＜1，

所以a＜x＜1，

因為不等式組有3個整數(shù)解，故這個整數(shù)只能是0，-1，-2，借助數(shù)軸（如圖所示），得到a的取值范圍是：-3≤a＜-2.

評注: 本例要借助數(shù)軸，對不等式組的解集進行直觀分析，才能使問題得以解決.

4.不等式（組）的應(yīng)用

例7（08年浙江溫州考題） 一次奧運知識競賽中，一共有25道題，答對一題得10分，答錯（或不答）一題扣5分.設(shè)小明同學(xué)在這次競賽中答對x道題．

（1）根據(jù)所給條件，完成下表：

（2）若小明同學(xué)的競賽成績超過100分，則他至少要答對幾道題？

分析：共有25道題，答對x道題，則答錯或不答為（25-x）道題； 答錯（或不答）一題扣5分，則應(yīng)扣 5（25-x）分，根據(jù)成績超過100分，即大于100，可得不等式.

解:（1）填表如圖:

（2）根據(jù)題意可得不等式:10x-5（25-x）＞100，

解得x＞15.

答：他至少答對16道題.

評注：本例主要考查了從文字信息中讀取有效信息的能力和數(shù)據(jù)處理能力，考查了建立不等式模型解決實際問題的能力.