構(gòu)建二次函數(shù)解決體育問題

二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界變量之間關(guān)系的一種常見的數(shù)學(xué)模型，許多實際問題都可以通過分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，從而利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)加以解決.下面介紹幾種利用二次函數(shù)解決的與體育有關(guān)的問題，供同學(xué)們參考.

一、跳繩運動中的問題

例1我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖1所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2.5m處.繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂.已知學(xué)生丙的身高是1.5m，則學(xué)生丁的身高為（）.

A．1.5mB．1.625m C．1.66mD．1.67m

分析：本題考查閱讀理解、數(shù)據(jù)處理及建立二次函數(shù)模型的能力．由于繩子甩到最高處時的形狀可近似地看為拋物線，因此，根據(jù)條件中的數(shù)據(jù)得到拋物線上3個點的坐標(biāo)后，再利用一般式即可求出函數(shù)表達(dá)式；而求丁的身高，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是求拋物線上橫坐標(biāo)為1.5時對應(yīng)點的縱坐標(biāo)．

解：設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=Ax2+Bx+C，可知圖像經(jīng)過點（-1，1），（0，1.5），（3，1），可得，

A-B+C=1C=1.59A+3B+C=1，

解得A=-B=C=，

所以函數(shù)表達(dá)式為y= -x2+x+，

當(dāng)x=1.5時，y=1.625．

答案B．

二、鉛球運動中的問題

例2一男生在校運會的比賽中推鉛球，鉛球的行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系用如圖2所示的二次函數(shù)圖像表示．（鉛球從A點被推出，實線部分表示鉛球所經(jīng)過的路線）

（1）由已知圖像上的3點，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求鉛球被推出的距離；

（3）若鉛球到達(dá)的最大高度的位置為點B，落地點為C，求四邊形OABC的面積．

分析：本題考查從圖像中獲取信息的能力．觀察圖像可得到拋物線上的3個點的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)表達(dá)式；在此基礎(chǔ)上，利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系可求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，得鉛球被推出的距離；最后通過配方法將函數(shù)式化成頂點式，得到頂點坐標(biāo)，用分割法求得四邊形的面積．

解：（1）設(shè)y=Ax2+Bx+C，已知圖像經(jīng)過（-2，0），（0， ），（2， ），由此可求得A= -，B=，C=，

所以y= -x2+x+；

（2）令y=0，即-x2+x+=0，解得x1=10，x2= -2（不合題意，舍去），

所以鉛球被推出的距離是10米；

（3）作BD⊥OC，垂足為D，

因為y= -（x2-8x-20）= -（x-4）2+3，所以B（4，3），

由（2）得C（10，0），

所以S四邊形OABC= S梯形OABD +S△BDC=×（+3）×4+×6×3=18平方米．

三、籃球運動中的問題

例3某學(xué)校初三年級的一場籃球比賽中，如圖3，隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運行軌跡為拋物線，籃圈距地面3米．

（1）建立如圖3的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？

（2）此時，若對方隊員乙在甲面前1米處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功？

分析：這是一個有趣的、貼近學(xué)生日常生活的應(yīng)用題，由條件可得到出手點、最高點（頂點）、和籃圈的坐標(biāo)，再由出手點、頂點的坐標(biāo)可求出函數(shù)表達(dá)式；判斷此球能否準(zhǔn)確投中的問題就是判斷代表籃圈的點是否在拋物線上；判斷蓋帽攔截能否獲得成功，就是比較當(dāng)x=1時函數(shù)y的值與最大摸高3.1米的大小．

解：（1）由條件可得到球出手點、最高點、和籃圈的坐標(biāo)分別為A（0，），B（4，4），C（7，3），其中B是拋物線的頂點，

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=A（x-h）2+k，將點A、B的坐標(biāo)代入，可得y= -（x-4）2+4，

將點C的坐標(biāo)代入上式，得左邊=右邊，即點C在拋物線上，所以此球一定能投中；

（2）將x=1代入函數(shù)式，得y=3，

因為3.1＞3，所以蓋帽能獲得成功．

四、足球運動中的問題

例4為了備戰(zhàn)奧運會，中國足球隊在某次訓(xùn)練中，一隊員距離門12米處挑射，正好射中了2.4米高的球門橫梁，若足球運動的路線是拋物線y=ax2+bx+c，如圖4所示，則下列結(jié)論：（1）a＜- ；（2）-＜a＜0；（3）a-b+c＞0；（4）0＜b＜-12a，其中正確的是().

A．（1）（3）

B．（1）（4）

C．（2）（3）

D．（2）（4）

解：把點（0，2.4）、（12，0）代入解析式得c=2.4，b=-12a-0.2，

故b＜-12a，

又因為拋物線開口向下，故a＜0，且對稱軸x=-＞0，故b＞0，即0＜b＜-12a，

因此（4）正確，

又因144a+12b=-2.4且b＞0，故144a＜-2.4，

因此a＜-，因此（1）正確，

因此，應(yīng)選B.