高考數(shù)列填空創(chuàng)新試題賞析

填空題是高考數(shù)學(xué)三大題型之一，數(shù)列填空創(chuàng)新題是高考改革的試驗(yàn)田，它不僅考查同學(xué)們的探索和創(chuàng)新能力，而且對(duì)思維應(yīng)變能力有更高的要求，這對(duì)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有良好的示范作用。本文就高考數(shù)列填空創(chuàng)新試題作簡(jiǎn)單的評(píng)述，以供同學(xué)們考前復(fù)習(xí)及臨場(chǎng)應(yīng)試參考。

一、 多選型

目前高考數(shù)學(xué)選擇題是“四選一”型，為了考查同學(xué)們的推理探究、發(fā)散等創(chuàng)新能力，高考推出了多項(xiàng)選擇題，即給出若干命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足題意的命題或結(jié)論。

例1 若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”。設(shè){an}是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列，下列的四組量中，一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第______組。（寫出所有符合要求的組號(hào)）

①S1與S2 ②a2與S3 ③a1與an ④q與an

其中n為大于1的整數(shù)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和。

二、 開(kāi)放型

在給定條件下結(jié)論不唯一的命題。

例2 若首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)總和小于這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和，則首項(xiàng)a1，公比q的一組取值可以是（a1，q）=______。

三、 類比型

從同學(xué)們熟悉的數(shù)式、規(guī)律和操作程序類比中尋找解題途徑，體驗(yàn)科學(xué)探究的魅力，促進(jìn)創(chuàng)造性人格的形成與發(fā)展。

例3 在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+）成立。類比上式性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有等式______________成立。

解析 由等差數(shù)列中兩項(xiàng)和性質(zhì)，得a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=2a10=0，所以a1+a2+…+an+…+a19=0，即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1。∵a1=-a19，a2=-a18，…，a19-n=-an+1，∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n。若a9=0，同理可得：a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n（n＜17，n∈N+）。相應(yīng)地等比數(shù)列有兩項(xiàng)積性質(zhì)，類比可得：b1b2…bn=b1b2…b17-n（n＜17，n∈N+）。

解析 遷移新情景考查常用的數(shù)學(xué)方法，引導(dǎo)同學(xué)們用創(chuàng)造性思維學(xué)習(xí)。

由題干提示，猜測(cè)f（-5）+f（6）=f（-4）+f（5）=…=f（0）+f（1）=定值。

四、 新定義型

給出一定容量的新信息，要求同學(xué)們依據(jù)新信息進(jìn)行解題。

例5 定義“等和數(shù)列：在一個(gè)數(shù)列中，每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和”。

已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為_(kāi)_____，且這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)和S21的值為_(kāi)_____。

解析 由已知，可得a1=2，a2=3，又an+an+1=an+1+an+2=5，∴an=an+2，即數(shù)列{an}：2，3，2，3，2，3，……因此，a18=3，S21=10×（2+3）+2=52。