函數(shù)圖象中體現(xiàn)的辯證觀點(diǎn)

[摘要]《函數(shù)及其圖象》這一章中，滲透和體現(xiàn)的辯證觀點(diǎn)的內(nèi)容是十分豐富的，主要包括常量與變量，運(yùn)動與靜止，內(nèi)容與形式，特殊與一般，現(xiàn)象與本質(zhì)，具體與抽象，量變與質(zhì)變，離散與連續(xù)等。

[關(guān)鍵詞]函數(shù) 圖象 辨證觀點(diǎn)

現(xiàn)代課程理論及教學(xué)實(shí)踐證明，搞好函數(shù)及其圖象教學(xué)，不僅可以幫助學(xué)生深化對以前所學(xué)過的基礎(chǔ)知識的理解，提高數(shù)學(xué)能力，形成運(yùn)動、變化、聯(lián)系的意識，而且能較自然地培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀。

一、常量與變量

辯證法認(rèn)為，世界上的萬事萬物，都是相互聯(lián)系、運(yùn)動、變化和發(fā)展的。常量，是相對于某一過程或另一個變量而言的。絕對的常量是沒有的。因?yàn)槲镔|(zhì)的運(yùn)動是絕對的，靜止是相對的，故物動則變。既然如此，相對的常量是有的，絕對的常量是不存在的。因此，在教學(xué)過程中，為幫助學(xué)生認(rèn)識常量與變量這一辯證關(guān)系，不妨取如下實(shí)例。電影院里統(tǒng)計(jì)票房收入，對某一個場次和座位類別而言，票價是常量，而售票張數(shù)和收入均為變量；但相對于某個較長時間間隔而言，由于演出的內(nèi)容、種類、檔次的不同，其票價仍是一個變量。 教學(xué)實(shí)踐表明，要使學(xué)生認(rèn)識常量與變量這一辯證關(guān)系，就必須多形式、多角度、多層次地予以闡釋。

二、運(yùn)動與靜止 根據(jù)人類認(rèn)識事物的客觀規(guī)律及青少年實(shí)踐和知識的發(fā)展水平，我們可結(jié)合教材中的具體教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識事物的絕對運(yùn)動與相對靜止這一辯證關(guān)系。例如，我們可以引導(dǎo)學(xué)生從教科書上看到的，在練習(xí)本或黑板上畫出的y=x的圖象去思考：這個圖象表面上是靜止的，但從列表、描點(diǎn)到連線的過程去看卻是運(yùn)動的、變化的。再進(jìn)一步挖掘，可以發(fā)現(xiàn)：畫成的圖象表面上是完整的，其實(shí)是不完整的，因?yàn)樗€可以向兩方無限延伸，即不斷運(yùn)動、發(fā)展和變化，畫出的函數(shù)圖象永遠(yuǎn)只能是局部的，它只能是某個函數(shù)圖象的一個象征物；同時這一例舉也體現(xiàn)了部分與整體的辯證統(tǒng)一。三、內(nèi)容與形式

根據(jù)現(xiàn)行教材體系，初一上學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)了方程的有關(guān)概念后會認(rèn)為，形如y=2x+1的式子表示一個二元一次方程；初三學(xué)生剛接觸一次函數(shù)概念時，會認(rèn)為y=2x+1表示一個一次函數(shù)；當(dāng)學(xué)生用描繪函數(shù)圖象的一般方法描出y=2x+1的圖象后，又認(rèn)識到y(tǒng)=2x+1還可以表示一條直線。從哲學(xué)的角度去看，y=2x+1表示一類事物的本質(zhì)聯(lián)系，其內(nèi)容是極其豐富的，而表達(dá)這豐富內(nèi)容的形式卻是相同的。這正表明，同一事物在不同的外部條件下可有多種不同的外部表現(xiàn)形式，相同的外部形式可以表示不同的本質(zhì)內(nèi)容。隨著學(xué)生知識的增多和認(rèn)識能力的提高，他們對事物本質(zhì)的認(rèn)識也將逐步地從感性上升為理性。四、特殊與一般

辯證法認(rèn)為，一般性寓于特殊性之中。教材中涉及特殊與一般這一內(nèi)容至少有以下幾個方面：(1)y=kx與y=kx+b；(2)y=ax2與y=ax2+k；(3)y=ax2與y=a(x-h)2；(4)y=ax2與y=ax2+bx+c。它們之間的關(guān)系，均是典型的特殊與一般之間的關(guān)系，而這一關(guān)系又是辯證統(tǒng)一的。為了利于學(xué)生認(rèn)識事物的本質(zhì)屬性，教材中總是先介紹簡單的、特殊的內(nèi)容，然后再逐步推廣、逐步加深到較復(fù)雜的、更一般的內(nèi)容，從而引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識事物的本質(zhì)屬性，掌握對事物的認(rèn)識規(guī)律。五、現(xiàn)象與本質(zhì)

在物質(zhì)世界中，沒有一定的現(xiàn)象，就不能表現(xiàn)出事物的本質(zhì)，而且其本質(zhì)常常寓于現(xiàn)象之中。當(dāng)然，個別現(xiàn)象不一定能暴露出事物的本質(zhì)，因?yàn)楸举|(zhì)是若干同類現(xiàn)象的寓歸。這在數(shù)學(xué)上也會如此。

例如，在初一年級，學(xué)生可以順利地判定方程組的解集為空集，而相對于認(rèn)識“y=2x+1與y=2x+3表示兩條平行直線，自然沒有交點(diǎn)”，屬于對事物表象-現(xiàn)象的認(rèn)識；只有達(dá)到透徹理解一次函數(shù)的概念與性質(zhì)以后，才算是認(rèn)識了事物的本質(zhì)。一元二次方程x2+2x+3=0為什么沒有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=x2+2x+3的圖象與x軸為什么沒有交點(diǎn)?函數(shù)y=x2+2x+3的最小值是多少?學(xué)生從“實(shí)數(shù)的偶次冪非負(fù)”到“列表-描點(diǎn)-連線”，直觀地看拋物線y=x2+2x+3的頂點(diǎn)的位置。到最一般地研究函數(shù)y=x2+2x+3的最小值，實(shí)乃學(xué)生由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)的認(rèn)識過程。這類問題中，方程沒有實(shí)數(shù)根，或圖象與x軸沒有交點(diǎn)，或頂點(diǎn)在x軸上方，均是現(xiàn)象，而問題的本質(zhì)，恰恰是“一元二次方程根的判別式”的值的狀況對于這類問題的制約。

六、具體與抽象現(xiàn)代認(rèn)知科學(xué)理論告訴我們，人類對事物本質(zhì)屬性的認(rèn)識，是由現(xiàn)象到本質(zhì)、由具體到抽象、由淺入深的漸進(jìn)過程。感性認(rèn)識常來自于對某些具體實(shí)踐的思考；而理性認(rèn)識則來自于對這些初步認(rèn)識概括和抽象的過程，從而達(dá)到對事物本質(zhì)屬性的認(rèn)識。因此只有從具體的感性認(rèn)識上升發(fā)展為抽象的理性認(rèn)識以后，才容易納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才可以轉(zhuǎn)化為運(yùn)用的能力，才能為更高級的抽象提供基礎(chǔ)和保證。我們可從細(xì)讀教材中發(fā)現(xiàn)，無論是對正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的研究，還是對反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)的討論，都是從具體到抽象逐步展開論述和論證，從而加深對這些知識的理解。為了使學(xué)生的認(rèn)識不局限于具體，而使之逐步上升為抽象，教材中每講好一些具體的、典型的例題后，總是來一個“一般地，函數(shù)…具有以下性質(zhì)……”，從而抓住了本質(zhì)聯(lián)系。正是這個“一般地”，構(gòu)成了學(xué)生認(rèn)知的困難。為了幫助學(xué)生克服認(rèn)知障礙，我們應(yīng)給學(xué)生以豐富的感性材料，使之產(chǎn)生豐富的感性認(rèn)識，而后逐步上升為理性認(rèn)識。

七、量變與質(zhì)變本章體現(xiàn)量變與質(zhì)變觀點(diǎn)的內(nèi)容，例子很多，要使學(xué)生深刻認(rèn)識這些內(nèi)容卻是很困難的，因而我們在教學(xué)時宜逐步引導(dǎo)，點(diǎn)滴滲透，而后去系統(tǒng)推進(jìn)對這些內(nèi)容的理解。(1)對于一次函數(shù)y=kx+b，若從k≠0變?yōu)閗=0，情況如何?(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，規(guī)定?a≠0；若令a=0，情況如何?(3)反比例函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是x≠0；如果x=0，或y=0，又將如何?(4)對于y=kx+b，從k＞0變?yōu)閗＜0，則其變化特征如何相應(yīng)變化?(5)對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，若Δ＞0變?yōu)棣?0或Δ＜0，相應(yīng)的函數(shù)圖象及性質(zhì)將如何改變?(6)對于周長確定的矩形，當(dāng)相鄰邊長均為周長的時，面積的大小有何特征?(7)對于一般的二次函數(shù)y=ax2+bx+c，從x＜0變?yōu)閤=0，再變?yōu)閤＞0，其增減趨勢如何相應(yīng)地改變諸如此類，均是量變積累到一定程度導(dǎo)致質(zhì)變的例子。

八、離散與連續(xù)

離散與連續(xù)是一個矛盾的兩個方面，但在列表—描點(diǎn)—連線的過程中，連線使離散與連續(xù)得到了統(tǒng)一。如教科書上畫y=x及y=x2的圖象，均采用了由簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、由離散到連續(xù)的手法，體現(xiàn)了這種對立統(tǒng)一的關(guān)系。

仔細(xì)分析教材，不難發(fā)現(xiàn)《函數(shù)及其圖象》這一章中，滲透和體現(xiàn)的上述辯證觀點(diǎn)的內(nèi)容是十分豐富的。主要觀點(diǎn)除上面已敘述的內(nèi)容之外，至少還有微觀與宏觀，直與曲，精確與近似，部分與整體，絕對與相對，主觀與客觀辯證統(tǒng)一等內(nèi)容。

（作者單位：河南安陽廣播電視大學(xué)）